Question

在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝CD，點(diǎn)E在DC的延長線上，AE交BC邊于點(diǎn)F，且AE=AB．

 

（1）如圖l，求證：∠B＝∠E：

（2）如圖2，在（1）的條件下，在BC上取一點(diǎn)M，使BM=CE，連接AM，過M作MH⊥AE于H，連接CH，若∠BAE＝∠EHC＝60°，CF＝2，求線段AH的長.

 

Answer 1

【答案】

（1）過點(diǎn)A作AG//CD交BC于點(diǎn)G，AP⊥BC于點(diǎn)P，AQ⊥CD于點(diǎn)Q，連接AC，則有∠APG=∠AQE=90°，由AD//BC可得四邊形AGCD是平行四邊形，再結(jié)合AD=CD可得AGCD是菱形，即可得到∠ACP=∠ACD，則可得AP=AQ，再有AB=AE，可證得Rt△APB≌Rt△AQE，從而可以證得結(jié)論；（2）

【解析】

試題分析：（1）過點(diǎn)A作AG//CD交BC于點(diǎn)G，AP⊥BC于點(diǎn)P，AQ⊥CD于點(diǎn)Q，連接AC，則有∠APG=∠AQE=90°，由AD//BC可得四邊形AGCD是平行四邊形，再結(jié)合AD=CD可得AGCD是菱形，即可得到∠ACP=∠ACD，則可得AP=AQ，再有AB=AE，可證得Rt△APB≌Rt△AQE，從而可以證得結(jié)論；

（2）在HE上截取HK=CH，連接MK、AC，由∠KHC=60°可得△KHC是等邊三角形，∠AHC=120°，即可得到CH=CK，∠HKC=60°，由AB=AE，∠B=∠E，BM=CE可證得△ABM≌△AEC，即得∠BAM=∠EAC，AM=AC，即可得到△AMC是等邊三角形，則可得AC=CM，∠HCK=∠ACM=60°，從而可以證得△MCK≌△ACH，即得MK=AH，∠AHC=∠MKC=120°，則可得到∠MKF=120°-60°=60°，由MH⊥AH可得∠HMK=30°，設(shè)CH=CK=HK=，在Rt△MHK中，則有MK=AH=，再在Rt△MHK中，根據(jù)勾股定理可得MH=，利用面積法易求MF=4，即可得到AM=MC=4+2=6，在Rt△AHM中根據(jù)勾股定理求解即可.

解：（1）過點(diǎn)A作AG//CD交BC于點(diǎn)G，AP⊥BC于點(diǎn)P，AQ⊥CD于點(diǎn)Q，連接AC

則有∠APG=∠AQE=90°

∵AD//BC

∴四邊形AGCD是平行四邊形

∵AD=CD

∴AGCD是菱形

∴∠ACP=∠ACD  

∴AP=AQ

∵AB=AE

∴Rt△APB≌Rt△AQE

∴∠B=∠E；

（2）在HE上截取HK=CH，連接MK、AC

∵∠KHC=60°

∴△KHC是等邊三角形，∠AHC=120°

∴CH=CK，∠HKC=60°

∵AB=AE，∠B=∠E，BM=CE

∴△ABM≌△AEC

∴∠BAM=∠EAC，AM=AC

∵∠BAE=60°

∴∠MAC=60°

∴△AMC是等邊三角形

∴AC=CM，∠HCK=∠ACM=60°

∴∠MCK=∠ACH

∴△MCK≌△ACH

∴MK=AH，∠AHC=∠MKC=120°

∴∠MKF=120°-60°=60°

∵M(jìn)H⊥AH

∴∠HMK=30°

∴設(shè)CH=CK=HK= 

在Rt△MHK中，則有MK=AH=

在Rt△MHK中，

∴MH=

利用面積法易求：MF=4

∴AM=MC=4+2=6

在Rt△AHM中，

∴

解得：，（舍去）

∴AH=2=.

考點(diǎn)：四邊形的綜合題

點(diǎn)評：此類問題難度較大，在中考中比較常見，一般在壓軸題中出現(xiàn)，需特別注意.