Question

若m為自然數，且4<m<40，且方程x²－2(2m－3)x＋4m²－14m＋8＝0的兩根均為整數，求m的值．

Answer 1

m＝12和m＝24

試題分析：方程有整數根，則根的判別式就為完全平方數，所以就是求使△為完全平方數的m的值，求得后再代入方程檢驗即可．
∵a=1，b=-2（2m-3），c=4m²-14m+8，
∴△=b²-4ac=4（2m-3）²-4（4m²-14m+8）=4（2m+1）．
∵方程有兩個整數根，
∴△=4（2m+1）是一個完全平方數，
所以2m+1也是一個完全平方數．
∵4＜m＜40，
∴9＜2m+1＜81，
∴2m+1=16，25，36，49或64，
∵m為整數，
∴m=12或24．
代入已知方程，
得x=16，26或x=38，52．
綜上所述m為12，或24．
點評：一元二次方程有整數根，必須滿足根的判別式△=b²-4ac非負或為完全平方數，可根據這兩個條件來限定待定系數的取值范圍，從而找出解題的思路．