Question

在平原上有一條筆直的公路，在公路同側有A、B兩個村莊．若以公路為x軸建立平面直角坐標系，如圖1：已知A、B兩個村莊的坐標分別為（2，2），（7，4），一輛汽車（看成點P）在x軸上行駛．
（1）汽車行駛過程中到A、B兩村距離之和最小為多少？
（2）汽車行駛過程中到A、B兩村距離之差最大為多少？

Answer 1

分析：（1）作點A關于x軸的對稱點A'，連接A′B，則A′B的長即為A、B兩村距離之和的最小值，利用兩點間的距離公式求出A′B的長即可；
（2）因為當點P在A，B延長線上時，到A，B兩村距離之差最大，故直接利用兩點間的距離公式求出AB的長即可．

解答：解：（1）如圖1，作點A關于x軸的對稱點A'（2，-2）
則A′B的長即為A、B兩村距離之和的最小值，
∵B（7，4），
∴A′B=

(7-2)2+(4+2)2

=

61

；

（2）如圖2，∵點P在A，B延長線上時，到A，B兩村距離之差最大，
∴AB=

(7-2)2+(4-2)2

=

25+4

=

29

．

點評：本題考查的是軸對稱-最短路線問題，凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質定理，結合軸對稱變換來解決，多數情況要作點關于某直線的對稱點，再利用兩點間距離公式解答．