Question

【題目】如圖1，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點A（﹣1，0）、B（4，0）兩點，與y軸交于點C，且OC=3OA．點P是拋物線上的一個動點，過點P作PE⊥x軸于點E，交直線BC于點D，連接PC．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖2，當動點P只在第一象限的拋物線上運動時，求過點P作PF⊥BC于點F，試問△PDF的周長是否有最大值？如果有，請求出其最大值，如果沒有，請說明理由．

（3）當點P在拋物線上運動時，將△CPD沿直線CP翻折，點D的對應點為點Q，試問，四邊形CDPQ是否成為菱形？如果能，請求出此時點P的坐標，如果不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) y=﹣+x+3；(2) 有最大值,;(3) 存在這樣的Q點，使得四邊形CDPQ是菱形，此時點P的坐標為（，）或（，﹣）．

【解析】

試題分析: （1）利用待定系數法求二次函數的解析式；

（2）設P（m，﹣m2+m+3），△PFD的周長為L，再利用待定系數法求直線BC的解析式為：y=﹣x+3，表示PD=﹣，證明△PFD∽△BOC，根據周長比等于對應邊的比得：，代入得：L=﹣（m﹣2）2+，求L的最大值即可；

（3）如圖3，當點Q落在y軸上時，四邊形CDPQ是菱形，根據翻折的性質知：CD=CQ，PQ=PD，∠PCQ=∠PCD，又知Q落在y軸上時，則CQ∥PD，由四邊相等：CD=DP=PQ=QC，得四邊形CDPQ是菱形，表示P（n，﹣ +n+3），則D（n，﹣n+3），G（0，﹣n+3），利用勾股定理表示PD和CD的長并列式可得結論．

試題解析:

（1）由OC=3OA，有C（0，3），

將A（﹣1，0），B（4，0），C（0，3）代入y=ax2+bx+c中，得：

，

解得：，

故拋物線的解析式為：y=﹣+x+3；

（2）如圖2，設P（m，﹣m2+m+3），△PFD的周長為L，

∵直線BC經過B（4，0），C（0，3），

設直線BC的解析式為：y=kx+b，

則

解得：

∴直線BC的解析式為：y=﹣x+3，

則D（m，﹣），PD=﹣，

∵PE⊥x軸，PE∥OC，

∴∠BDE=∠BCO，

∵∠BDE=∠PDF，

∴∠PDF=∠BCO，

∵∠PFD=∠BOC=90°，

∴△PFD∽△BOC，

∴，

由（1）得：OC=3，OB=4，BC=5，

故△BOC的周長=12，

∴，

即L=﹣（m﹣2）2+，

∴當m=2時，L最大=；

（3）存在這樣的Q點，使得四邊形CDPQ是菱形，如圖3，

當點Q落在y軸上時，四邊形CDPQ是菱形，

理由是：由軸對稱的性質知：CD=CQ，PQ=PD，∠PCQ=∠PCD，

當點Q落在y軸上時，CQ∥PD，

∴∠PCQ=∠CPD，

∴∠PCD=∠CPD，

∴CD=PD，

∴CD=DP=PQ=QC，

∴四邊形CDPQ是菱形，

過D作DG⊥y軸于點G，

設P（n，﹣ +n+3），則D（n，﹣n+3），G（0，﹣），

在Rt△CGD中，CD2=CG2+GD2=[（﹣n+3）﹣3]2+n2=，

而|PD|=|（﹣）﹣（﹣n+3）|=|﹣+3n|，

∵PD=CD，

∴﹣①，

﹣，

解方程①得：n=或0（不符合條件，舍去），

解方程②得：n=或0（不符合條件，舍去），

當n=時，P（，），如圖3，

當n=時，P（，﹣），如圖4，

綜上所述，存在這樣的Q點，使得四邊形CDPQ是菱形，此時點P的坐標為（，）或（，﹣）．