Question

（2013•高要市二模）如圖，在以O(shè)為圓心的兩個(gè)同心圓中，小圓的半徑為1，AB與小圓相切于點(diǎn)A，與大圓相交于B，大圓的弦BC⊥AB，過點(diǎn)C作大圓的切線交AB的延長線于D，OC交小圓于E．
（1）求證：△AOB∽△BDC；
（2）設(shè)大圓的半徑為x，CD的長為y，求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫出定義域．

Answer 1

分析：（1）利用切線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)證明∠BCD=∠ABO，利用兩角法證明△AOB∽△BDC；
（2）過點(diǎn)O作OH⊥BC，垂足為H，則四邊形OABH是矩形，根據(jù)垂徑定理可得BC=2BH=2OA=2，在Rt△OAB中表示出AB，再由△AOB∽△BDC，利用對應(yīng)邊成比例的知識，可得y與x的函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合二次根式有意義的條件，可得定義域．

解答：（1）證明：∵大⊙O與CD相切于點(diǎn)C，
∴∠DCO=90°，
∴∠BCD+∠OBC=90°，
∵CB⊥AD，
∴∠ABO+∠OCB=90°，
∵OC=OB，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠BCD=∠ABO，
∵小⊙O與AB相切于點(diǎn)A，
∴∠BAO=90°，
∴∠CBD=∠BAO，
∴△AOB∽△BDC．

（2）解：過點(diǎn)O作OH⊥BC，垂足為H，
∵∠OAB=∠ABC=∠BHO=90°，
∴四邊形OABH是矩形，
∵BC是大⊙O的弦，
∴BC=2BH=2OA=2，
在Rt△OAB中，AB=

OB2-OA2

=

x2-1

，
∵△AOB∽△BDC，
∴

CD

OB

=

CB

AB

，
∴

y

x

=

2

x2-1

，
∴函數(shù)解析式為y=

2x

x2-1

，定義域?yàn)閤＞1．

點(diǎn)評：本題考查了圓的綜合，涉及了相似三角形的判定與性質(zhì)、切線的性質(zhì)、垂徑定理及矩形的性質(zhì)，綜合考察的知識點(diǎn)較多，解答此類綜合題，需要同學(xué)們具備扎實(shí)的基本功，將所學(xué)知識融會貫通．