Question

如圖，⊙O是Rt△ABC的外接圓，∠ABC=90°，點P是圓外一點，PA切⊙O于點A，且PA=PB．

(1)求證：PB是⊙O的切線；

 (2)已知PA=，BC=1，求⊙O的半徑．

 

Answer 1

 (1)證明：連結OB．

 ∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA．

 ∵PA=PB，∴∠PAB=∠PBA．

 ∴∠OAB+∠PAB=∠OBA+∠PBA，即∠PAO=∠PBO………………………2分

又∵PA是⊙O的切線，∴∠PAO=90°，

  ∴∠PBO=90°，∴OB⊥PB．………………………………………………4分

又∵OB是⊙O半徑，∴PB是⊙O的切線．……………………………………5分

(2)解：連結OP，交AB于點D．

∵PA=PB，∴點P在線段AB的垂直平分線上．

∵OA=OB，∴點O在線段AB的垂直平分線上．

∴OP垂直平分線段AB．…………………………………………………………7分

∴∠PAO=∠PDA=90°．

又∵∠APO=∠DPA，∴△APO∽△DPA．

∴，∴AP²=PO·DP．   

又∵OD=BC=，∴ PO(PO-OD)=AP²

即：PO ²一PO=()²，解得PO=2． ………………………………9分

在Rt△APO中，OA= =1，即⊙O 的半徑為l…………10分