Question

已知：如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD²＋CD²＝2AB²．

（1）求證：AB＝BC；

（2）當BE⊥AD于E時，試證明：BE＝AE＋CD．

 

Answer 1

【答案】

（1）連接AC，先根據(jù)勾股定理可得，，再結合，可得，從而證得結果；

（2）過C作CF⊥BE于F，即可證得四邊形CDEF是矩形，則可得CD＝EF，根據(jù)同角的余角相等可得∠BAE＝∠CB，即可證得△BAE≌△CBF，則可得AE＝BF，從而得到結果.

【解析】

試題分析：（1）連接AC

∵∠ABC＝90°

∴AB²＋BC²＝AC²

∵CD⊥AD

∴AD²＋CD²＝AC²

∵AD²＋CD²＝2AB²

∴AB²＋BC²＝2AB²

∴AB＝BC；

（2）過C作CF⊥BE于F

∵BE⊥AD

∴四邊形CDEF是矩形.

∴CD＝EF

∵∠ABE＋∠BAE＝90°，∠ABE＋∠CBF＝90°

∴∠BAE＝∠CB

∴△BAE≌△CBF.

∴AE＝BF

∴BE＝BF＋EF＝AE＋CD.

考點：勾股定理，矩形的判定，同角的余角相等，全等三角形的判定和性質

點評：本題知識點較多，綜合性強，讀懂題意及圖形，正確作出輔助線是解題的關鍵.