Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，5AC-3AB=0，點(diǎn)P從B出發(fā)，沿BC方向以2cm/s的速度移動(dòng)，與此同時(shí)點(diǎn)Q從C出發(fā)，沿CA方向以1cm/s的速度移動(dòng)，經(jīng)過多長時(shí)間△ABC和△PQC相似？

Answer 1

解：由5AC-3AB=0，得到5AC=3AB，設(shè)AB為5xcm，則AC=3xcm，
在Rt△ABC中，由BC=8cm，根據(jù)勾股定理得：25x²=9x²+64，
解得：x=2，或x=-2（舍去），
∴AB=5x=10cm，AC=3x=6cm，
設(shè)經(jīng)過t秒△ABC和△PQC相似．
則有BP=2tcm，PC=（8-2t）cm，CQ=tcm，
分兩種情況：
①當(dāng)△ABC∽△PQC時(shí)，有，即=，解得；
②當(dāng)△ABC∽△QPC時(shí)，有，即，解得t=，
綜上可知，經(jīng)過或秒△ABC和△PQC相似．
分析：由AC與AB的關(guān)系，設(shè)出AC=3xcm與AB=5xcm，再由BC的長，在直角三角形ABC中，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，進(jìn)而得到AB與AC的長，然后設(shè)出動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts，根據(jù)相應(yīng)的速度分別表示出PC與CQ的長，由△ABC和△PQC相似，根據(jù)對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)不同分兩種情況列出比例式，把各邊的長代入即可得到關(guān)于t的方程，求出方程的解即可得到t的值，從而得到所有滿足題意的時(shí)間t的值．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，由已知的AC與AB的關(guān)系，利用勾股定理確定出兩條邊的長是本題的突破點(diǎn)，本題的關(guān)鍵是根據(jù)三角形相似的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)不同，分兩種情況△ABC∽△PQC與△ABC∽△QPC分別列出比例式來解決問題．