Question

已知：如圖，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分線交AC于D，則下列結(jié)論：
（1）∠C=72°，
（2）BD是∠ABC的平分線，
（3）△ABD是等腰三角形，
（4）△BCD∽△ABC，
其中正確的有（ ）

A．4個(gè)
B．3個(gè)
C．2個(gè)
D．1個(gè)

Answer 1

【答案】分析：由AB=AC，∠A=36°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ABC=∠C=（180°-36°）=72°；再根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到DA=DB，則△ABD是等腰三角形；于是∠ABD=∠A=36°，可計(jì)算出∠CBD=72°-∠ABD=36°，得到BD是∠ABC的平分線，由相似三角形的判定方法可知（4）是正確的．
解答：解：∵AB=AC，∠A=36°
∴∠ABC=∠C=（180°-36°）=72°，所以（1）正確；
∵DE垂直平分AB，
∴DA=DB，即△ABD是等腰三角形，所以（3）正確；
∴∠ABD=∠A=36°，
∴∠CBD=72°-∠ABD=36°，
∴BD是∠ABC的平分線，所以（2）正確．
∵∠C=∠C，∠CBD=36°，∠A=36°，
∴△BCD∽△ABC，所以（4）正確．
所以正確的結(jié)論有4個(gè)．
故選A．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩段點(diǎn)的距離相等．也考查了等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理和相似三角形的判定．