Question

已知自然數(shù)n不能被5整除，求證：n⁴-1一定能被5整除．

Answer 1

【答案】分析：由自然數(shù)n不能被5整除，即可得n的個位數(shù)字不為0和5，然后分別從若n的個位數(shù)字為1，3，7，9與若n的個位數(shù)字為2，4，6，8去分析，即可得n⁴-1的個位數(shù)字是0或5，則可證得n⁴-1一定能被5整除．
解答：證明：∵自然數(shù)n不能被5整除，
∴n的個位數(shù)字不為0和5，（2分）
若n的個位數(shù)字為1，3，7，9，則n⁴的個位數(shù)字總是1，故n⁴-1的個位數(shù)字為0．
若n的個位數(shù)字為2，4，6，8，則n⁴的個位數(shù)字總是6，故n⁴-1的個位數(shù)字為5．
∴n⁴-1總能被5整除．（12分）
點評：此題考查了數(shù)的整除性問題．此題難度較大，解題的關(guān)鍵是掌握自然數(shù)n能被5整除，則n的個位數(shù)字為0或5；注意分類討論思想的應(yīng)用．