Question

一場數學游戲在兩個非常聰明的學生甲、乙之間進行．裁判先在黑板上寫出下面的正整數2、3、4、…、2006，然后隨意擦去一個數．接下來由乙、甲兩人輪流擦去其中的一個數（即乙先擦去其中的一個數，然后甲再擦去一個數，如此輪流下去），若最后剩下的兩個數互質，則判甲勝；否則，判乙勝．
按照這種游戲規(guī)則，求甲獲勝的概率．（用具體的數字作答）

Answer 1

分析：先求出2，3，4，2006中有1002個奇數，有1003個偶數，再分裁判擦去的數是奇數或偶數兩種情況討論，①若裁判擦去的是奇數，則乙不管甲取什么數，只要還有奇數，就擦去奇數，這樣最后兩個數一定都是偶數；
②若裁判擦去的數是偶數，設裁判擦去的數是2m，則將所剩的數配成1002對，再進行解答．

解答：解：由于甲、乙都非常聰明，他們獲勝的關鍵是看裁判擦去哪個數．注意到2，3，4，2006中有1002個奇數，有1003個偶數；
（1）若裁判擦去的是奇數，此時乙一定獲勝．
乙不管甲取什么數，只要還有奇數，就擦去奇數，這樣最后兩個數一定都是偶數，從而所剩兩數不互質，故乙勝；（10分）
（2）若裁判擦去的數是偶數，此時甲一定獲勝．
設裁判擦去的數是2m，則將所剩的數配成1002對：（2，3），（2m-2，2m-1），（2m+1，2m+2），（2005，2006）．
這樣，不管乙取哪一個數，甲就去所配數對中的另一個數，這樣最后剩下的兩數必然互質，故甲勝．（20分）
所以，甲獲勝的概率為

1003

2005

．（25分）
故答案為：

1003

2005

．

點評：本題考查的是質數與合數的概念、數的整除性、概率公式，利用分類討論的思想進行解答是解答此題的關鍵．