Question

a，b是正數(shù)，并且拋物線y=x²+ax+2b和y=x²+2bx+a都與x軸有公共點，則a²+b²的最小值是

20

．

Answer 1

分析：先根據(jù)拋物線y=x²+ax+2b和y=x²+2bx+a都與x軸有公共點可得到△＞0，可得到關于a、b的不等式，再利用不等式的基本性質(zhì)即可解答．

解答：解：由題設知a²-8b≥0，4b²-4a≥0．
則a⁴≥64b²≥64a，
∵a，b是正數(shù)，
∴a≥4，b²≥a≥4．
∴a²+b²≥20．
又∵當a=4，b=2時，拋物線y=x²+ax+2b和y=x²+2bx+a都與x軸有公共點，
∴a²+b²的最小值是20．
故答案為：20．

點評：本題考查的是二次函數(shù)的圖象與x軸的交點問題，解答此題的關鍵是熟知根據(jù)△判斷拋物線與x軸的交點問題及不等式的基本性質(zhì)．