Question

如圖，AD是△ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF，求證：AC=BF．

Answer 1

分析：有兩種解法：
①延長(zhǎng)AD至點(diǎn)M，使MD=FD，連接MC，則可證△BDF≌△CDM（SAS），可得MC=BF，∠M=∠BFM，再得∠M=∠MAC，得AC=MC=BF．
②延長(zhǎng)AD至點(diǎn)M，使DM=AD，連接BM，可證△ADC≌△MDB（SAS），方法與①相同．

解答：證明：方法一：延長(zhǎng)AD至點(diǎn)M，使MD=FD，連接MC，
在△BDF和△CDM中，

BD=CD ∠BDF=∠CDM DF=DM

∴△BDF≌△CDM（SAS）．
∴MC=BF，∠M=∠BFM．
∵EA=EF，
∴∠EAF=∠EFA，
∵∠AFE=∠BFM，
∴∠M=∠MAC，
∴AC=MC，
∴BF=AC；

方法二：延長(zhǎng)AD至點(diǎn)M，使DM=AD，連接BM，
在△ADC和△MDB中，

BD=CD ∠BDM=∠CDA DM=DA

，
∴△ADC≌△MDB（SAS），
∴∠M=∠MAC，BM=AC，
∵EA=EF，
∴∠CAM=∠AFE，而∠AFE=∠BFM，
∴∠M=∠BFM，
∴BM=BF，
∴BF=AC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形全等的判定及性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)．其中普通兩個(gè)三角形全等共有四個(gè)定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，解決此題的關(guān)鍵是作出巧妙的輔助線：倍長(zhǎng)中線．