Question

如圖，P為正方形ABCD內一點，若PA=a，PB=2a，PC=3a（a＞0）．
（1）求∠APB的度數；
（2）求正方形ABCD的面積．

Answer 1

分析：（1）已知PA=a，PB=2a，PC=3a，并不在同一個三角形中，因為AB=BC，可將△ABP繞點B順時針方向旋轉90°得△CBQ，連接PQ，構成兩個特殊三角形，可求∠APB的度數；
（2）用（1）的結論，證明∠APQ=180°，得出△AQC是直角三角形，根據AQ，QC的長及勾股定理求AC，從而可求正方形ABCD的面積．

解答：解：（1）將△ABP繞點B順時針方向旋轉90°得△CBQ，如圖，
則△ABP≌△CBQ且PB⊥QB，
于是PB=QB=2a，PQ=2

2

a，
在△PQC中，
∵PC²=9a²，PQ²+QC²=9a²，
∴PC²=PQ²+QC²．
∴∠PQC=90°，
∵△PBQ是等腰直角三角形，
∴∠BPQ=∠BQP=45°，故∠APB=∠CQB=90°+45°=135°；

（2）∵∠APQ=∠APB+∠BPQ=135°+45°=180°，
∴三點A、P、Q在同一直線上，
在Rt△AQC中，AC²=AQ²+QC²=（a+2

2

a）²+a²=（10+4

2

）a²，
∴正方形ABCD的面積S=AB2=

AC2

2

=（5+2

2

）a²．

點評：利用旋轉的方法，把圖形轉移位置，使條件相對集中，可為證明和計算提供條件．