Question

如圖，已知AB是⊙O直徑，AC是⊙O弦，點D是的中點，弦DE⊥AB，垂足為F，DE交AC于點G．
（1）若過點E作⊙O的切線ME，交AC的延長線于點M（請補完整圖形），試問：ME=MG是否成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；
（2）在滿足第（2）問的條件下，已知AF=3，F(xiàn)B=，求AG與GM的比．

Answer 1

解：（1）ME=MG成立，理由如下：
如圖，連接EO，并延長交⊙O于N，連接BC；
∵AB是⊙O的直徑，且AB⊥DE，
∴，
∵點D是的中點，
∴，
∴，
∴，即AC=DE，∠N=∠B；
∵ME是⊙O的切線，
∴∠MEG=∠N=∠B，
又∵∠B=90°-∠GAF=∠AGF=∠MGE，
∴∠MEG=∠MGE，故ME=MG．

（2）由相交弦定理得：DF²=AF•FB=3×=4，即DF=2；
故DE=AC=2DF=4；
∵∠FAG=∠CAB，∠AFG=∠ACB=90°，
∴△AFG∽△ACB，
∴，即，
解得AG=，GC=AC-AG=；
設(shè)ME=MG=x，則MC=x-，MA=x+，
由切割線定理得：ME²=MC•MA，即x²=（x-）（x+），
解得MG=x=；
∴AG：MG=：=10：3，即AG與GM的比為．
分析：（1）連接OE，并延長EO交⊙O于N，連接DN；由于ME是⊙O的切線，則∠MEG=∠N，而∠MGE=∠AGF，易證得∠AGF=∠B，即∠MGE=∠B，若證ME=MG，關(guān)鍵就是證得∠N=∠B；可從題干入手：點D是弧ABC的中點，則弧AD=弧DBC=弧AE，所以弧DBE=弧AEC，即AC=DE，由此可證得∠N=∠B，即可得到∠MGE=∠MEG，根據(jù)等角對等邊即可得證．
（2）根據(jù)相交弦定理可求得DF、EF的長，即可得到DE、AC的長，易證得△AFG∽△ACB，根據(jù)所得比例線段即可求得AG、GC的長，再由（1）證得ME=MG，可用MG分別表示出MA、MC的長，進而根據(jù)切割線定理求出MG的長，有了AG、MG的值，那么它們的比例關(guān)系就不難求出．
點評：此題是一道圓的綜合題，涉及到：切線的性質(zhì)、圓周角定理、相交弦定理、弦切角定理、切割線定理等重要知識點，綜合性強，難度較大，能夠發(fā)現(xiàn)AC、DE的等量關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵所在．