Question

如圖，在△ABC中，BC=3，AC=2，P為BC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD∥AB，交AC于點(diǎn)D，連接BD．
（1）如圖1，若∠C=45°，請直接寫出：當(dāng)

BP

PC

=

 

時(shí)，△BDP的面積最大；
（2）如圖2，若∠C=α為任意銳角，則當(dāng)點(diǎn)P在BC上何處時(shí)，△BDP的面積最大？

Answer 1

分析：（1）過點(diǎn)D作DE⊥BC于E，設(shè)PB=x，由PD∥AB，根據(jù)平行線分線段成比例定理，即可求得

PC

BC

=

DC

AC

，則可求得CD的長，P在BC中點(diǎn)時(shí)，△BDP的面積最大，故應(yīng)為

BP

PC

=1；
（2）過點(diǎn)D作DE⊥BC于E，設(shè)PB=x，由PD∥AB，根據(jù)平行線分線段成比例定理，即可求得

PC

BC

=

DC

AC

，則可求得CD的長，由在Rt△DEC中，∠DEC=90°，設(shè)∠C=α，求得S_△BDP=

1

2

•BP•DE=-

x2•sinα

3

+x•sinα．則可求得答案．

解答：解：（1）1．（2分）

（2）如圖2，過點(diǎn)D作DE⊥BC于E．（3分）
∴∠DEC=90°．
設(shè)PB=x．
∵BC=3，
∴PC=3-x．
∵PD∥AB，
∴

PC

BC

=

DC

AC

．
∴

DC

2

=

3-x

3

．
∴DC=

2(3-x)

3

．
在Rt△DEC中，∠DEC=90°，∠C=α，
∴DE=

2(3-x)•sinα

3

．（4分）
∴S_△BDP=

1

2

•BP•DE=-

x2•sinα

3

+x•sinα．（5分）
∵α為任意銳角，∴0＜sina＜1．
∴-

sinα

3

＜0．
∴當(dāng)x=-

sinα

2•(- sinα 3 )

=

3

2

時(shí)，S_△BDP有最大值．
即P在BC中點(diǎn)時(shí)，△BDP的面積最大．（6分）

點(diǎn)評：此題考查了平行線分線段成比例定理，二次函數(shù)的最值問題，三角函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)．此題綜合性較強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．