Question

△ABC中，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，CF交BE于G．
（1）如圖1，若AB=AC=BC=2，求S_△ABC•S_△GBC；
（2）如圖2，若AB=AC，BC=2，猜想S_△ABC•S_△GBC的值會等于（1）中值嗎？說明理由．
（3）如圖3，若D為BC上一點，BD=m，CD=n，猜想S_△ABC•S_△GBC的值會隨著A點的上下移動而變化嗎？說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據等腰三角形性質和勾股定理求出BE，根據三角形的中位線求出BG=2EG，根據等底等高的三角形面積求出△GBC即可；
（2）根據三角形的面積公式求出面積，證△GDC∽△CDA，求出AD•DG即可；
（3）證△ADB和△CDG相似，求出AD•CD即可．

解答：解：（1）∵AB=BC=AC=2，BE⊥AC，
∴AE=CE=1，
由勾股定理得：BE=

AB2-AE2

=

3

，
∴S_△ABC=

1

2

AC×BE=

1

2

×2×

3

=

3

，
∴S_△BEC=

1

2

S_△ABC=

3

2

，
連接EF，
∵AE=CE，AF=BF，
∴EF∥BC，EF=

1

2

BC，
∴

EG

BG

=

1

2

，
∴S_△BCG=

2

3

S_△BEC=

3

3

，
∴S_△ABC•S_△GBC=1．

（2）還等于1，
理由是：作直線AG交BC于D，
則AD⊥BC，
由三角形的面積公式得：S_△ABC•S_△GCB=

1

2

BC×AD•

1

2

BC•DG=AD•DG，
∵AD⊥BC，CF⊥AB，
∴∠AFC=△ADC=90°，
∴A F D C四點共圓，
∴∠BAD=∠GCB，
∵∠ADC=∠ADC=90°，
∴△GDC∽△CDA，
∴

CD

AD

=

DG

CD

，
∴AD•DG=CD²=1²=1，
∴S_△ABC•S_△GBC=1．

（3）不發(fā)生變化，等于

1

4

（m+n）mm，
由（2）可知S_△ABC•S_△GBC=

1

2

BC×AD×

1

2

BC×GD=

1

4

（m+n）AD•GD，
由（2）可知∠ADB=∠ADC=90°，∠BAD=∠GCD，
∴△ADB∽△CDG，
∴

AD

DC

=

BD

DG

，
∴AD•DG=DC•BD=mn，
∴S_△ABC•S_△GBC=

1

4

（m+n）mn．
不管A怎樣變換，兩三角形的面積的積不變，永遠等于

1

4

（m+n）mm

點評：本題主要考查對等腰三角形的性質，三角形的中位線，相似三角形的性質和判定，等邊三角形的性質，勾股定理等知識點的理解和掌握，能綜合運用性質進行推理和計算是解此題的關鍵．