Question

【題目】如圖①，在正方形中，點，分別在、上，且．

（1）試探索線段、的關系，寫出你的結論并說明理由；

（2）連接、，分別取、、、的中點、、、，四邊形是什么特殊平行四邊形？請在圖②中補全圖形，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）AF＝DE，AF⊥DE，理由見詳解；（2）四邊形HIJK是正方形，補圖、理由見詳解．

【解析】

（1）根據已知利用SAS判定△DAE≌△ABF，由全等三角形的判定方法可得到AF＝DE，∠BAF＝∠ADE，再由直角三角形的兩個銳角互余和有兩個角互余的三角形是直角三角形可證得AF⊥DE．

（2）根據已知可得HK，KJ，IJ，HI都是中位線，由全等三角形的判定可得到四邊形四邊都相等且有一個角是直角，從而來可得到該四邊形是正方形．

解：（1）AF＝DE， AF⊥DE．

∵ABCD是正方形，

∴AB＝AD，∠DAB＝∠ABC＝90°，

∵AE＝BF，

∴△DAE≌△ABF，

∴AF＝DE，∠BAF＝∠ADE．

∵∠DAB＝90°，

∴∠BAF+∠DAF＝90°，

∴∠ADE+∠DAF＝90°，

∴AF⊥DE．

∴AF＝DE，AF⊥DE．

（2）四邊形HIJK是正方形．

如下圖，H、I、J、K分別是AE、EF、FD、DA的中點，

∴HI＝KJ＝AF，HK＝IJ＝ED，

∵AF＝DE，

∴HI＝KJ＝HK＝IJ，

∴四邊形HIJK是菱形，

∵△DAE≌△ABF，

∴∠ADE＝∠BAF，

∵∠ADE+∠AED＝90°，

∴∠BAF+∠AED＝90°，

∴∠AOE＝90°

∴∠KHI＝90°，

∴四邊形HIJK是正方形．