Question

如圖，已知中，，，，是邊上的中點，是邊上的點（不與端點重合），是邊上的點，且∥，延長與直線相交于點，點是延長線上的點，且，聯(lián)結(jié)，設(shè)，.

（1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式及其定義域；
（2）聯(lián)結(jié)，當以為半徑的和以為半徑的外切時，求的正切值；
（3）當與相似時，求的長.

Answer 1

（1）∵∥，∴，
∵，，，∴，
∵是邊上的中點，∴，
∵，，∴，∴.
（2）∵以為半徑的和以為半徑的外切，
∴，又，∴，
∴， 又，∴，
∵，∴，∴，
又，∴≌， ∴，
∵，∴，∴，
∵，，是邊上的中點，∴，
∵∥，∴，∴，∴，
（3）∵，當與相似時，
①若時，過點作，垂足為點.
∴，∴，∴，
又，∴.
②若時，過點作，垂足為點.
∴，∴，∴，
又，∴.
綜上所述，當與相似時，的長為2或.

本題主要考核一次函數(shù)解析式和定義域、三角函數(shù)和相似三角形的判定和性質(zhì)