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(2011•江漢區(qū))在平面直角坐標系中,拋物線y=ax2+bx+3與x軸的兩個交點分別為A(﹣3,0)、B(1,0),過頂點C作CH⊥x軸于點H.
(1)直接填寫:a=  ,b=  ,頂點C的坐標為  ;
(2)在y軸上是否存在點D,使得△ACD是以AC為斜邊的直角三角形?若存在,求出點D的坐標;若不存在,說明理由;
(3)若點P為x軸上方的拋物線上一動點(點P與頂點C不重合),PQ⊥AC于點Q,當△PCQ與△ACH相似時,求點P的坐標.
解:(1)a=﹣1,b=﹣2,頂點C的坐標為(﹣1,4);
(2)假設在y軸上存在滿足條件的點D,過點C作CE⊥y軸于點E.
由∠CDA=90°得,∠1+∠2=90°.又∠2+∠3=90°,
∴∠3=∠1.又∵∠CED=∠DOA=90°,
∴△CED∽△DOA,∴
設D(0,c),則.變形得c2﹣4c+3=0,解之得c1=3,c2=1.
綜合上述:在y軸上存在點D(0,3)或(0,1),
使△ACD是以AC為斜邊的直角三角形.

(3)①若點P在對稱軸右側(如圖①),只能是△PCQ∽△CAH,得∠QCP=∠CAH.
延長CP交x軸于M,∴AM=CM,∴AM2=CM2
設M(m,0),則(m+3)2=42+(m+1)2,∴m=2,即M(2,0).
設直線CM的解析式為y=k1x+b1,
,解之得,
∴直線CM的解析式
聯(lián)立,解之得(舍去).

②若點P在對稱軸左側(如圖②),只能是△PCQ∽△ACH,得∠PCQ=∠ACH.
過A作CA的垂線交PC于點F,作FN⊥x軸于點N.
由△CFA∽△CAH得,
由△FNA∽△AHC得
∴AN=2,FN=1,點F坐標為(﹣5,1).
設直線CF的解析式為y=k2x+b2,則,
解之得
∴直線CF的解析式
聯(lián)立,解之得(舍去).

∴滿足條件的點P坐標為
解析:
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(2)將圖②中的△DEC繞點C逆時針旋轉45°得△D1E1C,點F、G、H的對應點分別為F1、G1、H1,如圖③.探究線段D1F1與AH1之間的數量關系,并寫出推理過程;
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