Question

（1）如圖1，正方形的面積為S，兩對邊與兩條對角線圍成的兩個三角形的面積分別為S₁和S₂，則

S

、

S1

、

S2

三者之間的數量關系為

 

；
（2）如圖2，若將正方形改為矩形，其它不變，上述

S

、

S1

、

S2

三者之間的數量關系還成立嗎？
回答：

 

；
（3）如圖3，若將矩形改為平行四邊形，其它不變，上述

S

、

S1

、

S2

三者之間的數量關系還成立嗎？回答：

 

；
（4）如圖4，梯形的面積為S，兩底邊與兩條對角線圍成的兩個三角形的面積分別為S₁和S₂，則

S

、

S1

、

S2

三者是否還存在上述的數量關系？若存在，請你給出證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設正方形的面積為1，那么可得S₁，S₂的面積均為

1

4

，可得

S

、

S1

、

S2

三者之間的數量關系；
（2）同法可得矩形中

S

、

S1

、

S2

三者之間的數量關系；
（3）同理可得平行四邊形中

S

、

S1

、

S2

三者之間的數量關系；
（4）可設梯形的面積為1，易得S₁與S₂相似，高的比為上下底的比，那么可得

S

、

S1

、

S2

三者之間的數量關系．

解答：解：（1）正方形的對角線把正方形分成全等的四個等腰直角三角形，所以設正方形的面積為1，那么S₁，S₂的面積均為

1

4

，∴

S

=

S1

+

S2

；

（2）矩形的對角線互相平分且相等，可得矩形的對角線把矩形分成面積相等的4部分，所以設矩形的面積為1，那么S₁，S₂的面積均為

1

4

，∴

S

=

S1

+

S2

；

（3）由平行四邊形的對角線互相平分可得平行四邊形的對角線把平行四邊形分成面積相等的4部分，所以設平行四邊形的面積為1，那么S₁，S₂的面積均為

1

4

，∴

S

=

S1

+

S2

；

（4）設梯形的面積為1，上底為a，下底為b，高為h，易得S₁，S₂所在的兩三角形相似，那么S₁所在的三角形的高為

ah

a+b

，S₂所在的三角形的高為

bh

a+b

，利用面積公式，整理后可得

S

=

S1

+

S2

．

點評：本題綜合考查了各種四邊形的面積問題，解決本題的關鍵是利用所給特殊圖形的性質得到各面積的算術平方根的關系；難點是利用類比的性質得到相應規(guī)律求解．