如圖.△ABC是等腰直角三角形,四邊形ADEF是正方形,D、F分別在AB、AC邊上,此時(shí)BD=CF,BD⊥CF成立.
(1)當(dāng)正方形ADEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)(0°<<90°)時(shí),如圖,BD=CF成立嗎?若成立,請(qǐng)證明;若不成立,請(qǐng)說明理由.
(2)當(dāng)正方形ADEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°時(shí),如圖,延長(zhǎng)BD交CF于點(diǎn)G.
①求證:BD⊥CF;
②當(dāng)AB=4,AD=時(shí),求線段BG的長(zhǎng).
解:(1)BD=CF成立. 理由:∵△ABC是等腰直角三角形,四邊形ADEF是正方形, ∴AB=AC,AD=AF,∠BAC=∠DAF=90°, ∵∠BAD=, ∠CAF=, ∴∠BAD=∠CAF, ∴△BAD≌△CAF. ∴BD=CF.(3分) (2)①證明:設(shè)BG交AC于點(diǎn)M. ∵△BAD≌△CAF(已證),∴∠ABM=∠GCM. ∵∠BMA=∠CMG,∴△BMA∽△CMG. ∴∠BGC=∠BAC=90°.∴BD⊥CF.(6分) ②過點(diǎn)F作FN⊥AC于點(diǎn)N. ∵在正方形ADEF中,AD=, ∴AN=FN=. ∵在等腰直角△ABC中,AB=4, ∴CN=AC-AN=3,BC=. ∴在Rt△FCN中,. ∴在Rt△ABM中,. ∴AM=. ∴CM=AC-AM=4-=,.(9分) ∵△BMA∽△CMG,∴. ∴. ∴CG=.(11分) ∴在Rt△BGC中,.(12分) |
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