Question

如圖，△ABC中，∠ABC的角平分線與∠ACB的外角∠ACD的平分線交于A₁．
（1）分別計算出當∠A為70°，80°時∠A₁的度數(shù)；
（2）根據(jù)（1）中的計算結果寫出∠A與∠A₁之間等量關系

 

；
（3）∠A₁BC的角平分線與∠A₁CD的角平分線交于A₂，∠A₂BC與A₂CD的平分線交于A₃，如此繼續(xù)下去可得A₄、…、A_n，請寫出∠A₆與∠A的數(shù)量關系

 

；
（4）如圖，若E為BA延長線上一動點，連EC，∠AEC與∠ACE的角平分線交于Q，當E滑動時有下面兩個結論：
①∠Q+∠A₁的值為定值；②∠Q-∠A₁的值為定值，其中有且只有一個是正確的，請寫出正確的結論，并求出其值．

Answer 1

分析：（1）（2）（3）的解法一致，由三角形的外角性質易知：∠A=∠ACD-∠ABC，∠A₁=∠A₁CD-∠A₁BC，而∠ABC的角平分線與∠ACB的外角∠ACD的平分線交于A₁，可得∠A₁=

1

2

（∠ACD-∠ABC）=

1

2

∠A；根據(jù)上面的思路可知：∠A₂=

1

2

∠A₁=

1

22

∠A，…∠A_n=

1

2n

∠A，根據(jù)這個規(guī)律進行求解即可．
（4）依然要用三角形的外角性質求解，易知2∠A₁=∠AEC+∠ACE=2（∠QEC+∠QCE），利用三角形內角和定理表示出∠QEC+∠QCE，即可得到∠A₁和∠Q的關系．

解答：解：（1）∵A₁C、A₁B分別是∠ACD、∠ABC的角平分線，
∴∠A₁BC=

1

2

∠ABC，∠A₁CD=

1

2

∠ACD；
由三角形的外角性質知：∠A=∠ACD-∠ABC，∠A₁=∠A₁CD-∠A₁BC，即：
∠A₁=

1

2

（∠ACD-∠ABC）=

1

2

∠A；
當∠A=70°時，∠A₁=35°；當∠A=80°，∠A1=40°．

（2）由（1）知：∠A₁=

1

2

∠A．

（3）同（1）可求得：
∠A₂=

1

2

∠A₁=

1

22

∠A，
∠A₃=

1

2

∠A₂=

1

23

∠A，
…
依此類推，∠A_n=

1

2n

∠A；
當n=6時，∠A₆=

1

26

∠A．

（4）△ABC中，由三角形的外角性質知：∠BAC=∠AEC+∠ACE=2（∠QEC+∠QCE）；
即：2∠A₁=2（180°-∠Q），
化簡得：∠A1+∠Q=180°，
因此①的結論是正確的，且這個定值為180°．

點評：此題主要考查的是三角形的外角性質，還涉及到角平分線的定義以及三角形內角和定理等知識，難度適中．