Question

如圖．點A、B、C、D在⊙O上，AC⊥BD于點E，過點O作OF⊥BC于F，求證：

（1）△AEB∽△OFC；

（2）AD=2FO．

Answer 1

考點：

圓周角定理；垂徑定理；相似三角形的判定與性質(zhì)．

專題：

證明題．

分析：

（1）連接OB，根據(jù)圓周角定理可得∠BAE=∠BOC，根據(jù)垂徑定理可得∠COF=∠BOC，再根據(jù)垂直的定義可得∠OFC=∠AEB=90°，然后根據(jù)兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似證明即可；

（2）根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例可得=，再根據(jù)圓周角定理求出∠D=∠BCE，∠DAE=∠CBE，然后求出△ADE和△BCE相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例可得=，從而得到=，再根據(jù)垂徑定理BC=2FC，代入整理即可得證．

解答：

證明：（1）如圖，連接OB，則∠BAE=∠BOC，

∵OF⊥BC，

∴∠COF=∠BOC，

∴∠BAE=∠COF，

又∵AC⊥BD，OF⊥BC，

∴∠OFC=∠AEB=90°，

∴△AEB∽△OFC；

（2）∵△AEB∽△OFC，

∴=，

由圓周角定理，∠D=∠BCE，∠DAE=∠CBE，

∴△ADE∽△BCE，

∴=，

∴=，

∵OF⊥BC，

∴BC=2FC，

∴AD=•FO=2FO，

即AD=2FO．

點評：

本題考查了圓周角定理，垂徑定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟記兩個定理并準(zhǔn)確識圖找出相等的角從而得到三角形相似是解題的關(guān)鍵．