Question

如圖，第一象限內半徑為2的⊙C與y軸相切于點A，作直徑AD，過點D作⊙C的切線l交x軸于點B，P為直線l上一動點，已知直線PA的解析式為：y=kx+3。

(1) 設點P的縱坐標為p，寫出p隨變化的函數(shù)關系式。

(2)設⊙C與PA交于點M，與AB交于點N，則不論動點P處于直線l上（除點B以外）的什么位置時，都有△AMN∽△ABP。請你對于點P處于圖中位置時的兩三角形相似給予證明；

(3)是否存在使△AMN的面積等于的k值？若存在，請求出符合的k值；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）、

∵y軸和直線l都是⊙C的切線

∴OA⊥AD   BD⊥AD

 又∵ OA⊥OB

∴∠AOB=∠OAD=∠ADB=90°

∴四邊形OADB是矩形

∵⊙C的半徑為2

∴AD=OB=4

∵點P在直線l上

∴點P的坐標為（4，p）

又∵點P也在直線AP上

∴p=4k+3

（2）連接DN

∵AD是⊙C的直徑   ∴ ∠AND=90°

∵ ∠AND=90°-∠DAN，∠ABD=90°-∠DAN

 ∴∠AND=∠ABD                     

又∵∠ADN=∠AMN  ∴∠ABD=∠AMN     

∵∠MAN=∠BAP                      

∴△AMN∽△ABP                  

(3)存在。                          

理由：把x=0代入y=kx+3得y=3，即OA=BD=3

AB=

∵ S△ABD= AB·DN=AD·DB

∴DN==

 ∴AN²=AD²-DN²=

∵△AMN∽△ABP 

∴   即 

當點P在B點上方時，

∵AP²=AD²+PD² = AD²+(PB-BD)² =4²+(4k+3-3)² =16(k²+1)

或AP²=AD²+PD² = AD²+(BD-PB)² =4²+(3-4k-3)² =16(k²+1)

S△ABP= PB·AD=(4k+3)×4=2(4k+3)

∴

整理得k²-4k-2=0   解得k₁ =2+  k₂=2-     

當點P在B 點下方時，

∵AP²=AD²+PD² =4²+(3-4k-3)² =16(k²+1)

S△ABP= PB·AD=[-(4k+3)]×4=-2(4k+3)

∴

 化簡，得k²+1=-（4k+3）   解得k=-2

 綜合以上所得，當k=2±或k=-2時，△AMN的面積等于