Question

【題目】如圖，已知線段AB∥CD，AD與BC相交于點K，E是線段AD上一動點，

(1)若BK＝KC，求的值；

(2)聯結BE，若BE平分∠ABC，則當AE＝AD時，猜想線段AB、BC、CD三者之間有怎樣的數量關系？請寫出你的結論并予以證明；

(3)試探究：當BE平分∠ABC，且AE＝AD(n＞2)時，線段AB、BC，CD三者之間有怎樣的數量關系？請直接寫出你的結論，不必證明．

Answer 1

【答案】(1)；(2)AB＝BC+CD；(3)AB＝BC+CD．

【解析】

（1）根據比例的性質得到，根據相似三角形的性質計算即可；
（2）連接BD，取BD的中點F，連接EF交BC于G，根據三角形的中位線定理得到GF=CD，EF=AB，根據平行線的性質、角平分線的定義得到EG=BC，即可得到答案；
（3）連接BD，作EF∥AB交BC于G，交BD于F，根據比例的性質、仿照（2）的作法解答即可．

解：(1)∵BK＝KC，

∴＝，

∵AB∥CD，

∴△CKD∽△BKA，

∴＝＝；

(2)猜想：AB＝BC+CD．

證明：連接BD，取BD的中點F，連接EF交BC于G，

由中位線定理，得EF∥AB∥CD，

∴G為BC的中點，∠GEB＝∠EBA，

又∵∠EBA＝∠GBE，

∴∠GEB＝∠GBE，

∴EG＝BG＝BC，而GF＝CD，EF＝AB，

∵EF＝EG+GF，

即：AB＝BC+CD；

∴AB＝BC+CD；

(3)猜想：AB＝BC+CD．

證明：連接BD，作EF∥AB交BC于G，交BD于F，

∵AE＝AD，

∴＝，

∵EF∥AB，

∴＝＝，即EF＝AB，

∵EF∥AB，AB∥CD，

∴EF∥CD，

同理，BG＝BC，GF＝CD，

∵EF＝EG+GF，

即：AB＝BC+CD；

∴AB＝BC+CD．

故答案為：(1)；(2)AB＝BC+CD；(3)AB＝BC+CD．