Question

已知拋物線y=-x²+2mx-m²+2的頂點A在第一象限，過點A作AB⊥y軸于點B，C是線段AB上一點（不與點A、B重合），過點C作CD⊥x軸于點D并交拋物線于點P．
（1）若點C（1，a）是線段AB的中點，求點P的坐標；
（2）若直線AP交y軸的正半軸于點E，且AC=CP，求△OEP的面積S的取值范圍．

Answer 1

解：（1）依題意得頂點A的坐標為（2，a），
設(shè)P（1，n）據(jù)x=-，得A點的橫坐標為m，即m=2，
所以y=-x²+4x-2，把P點的坐標代入得n=1，
即P點的坐標為（1，1）

（2）把拋物線化為頂點式：y=-（x-m）²+2，
可知A（m，2），設(shè)C（n，2），
把n代入y=-（x-m）²+2得y=-（n-m）²+2，
所以P（n，-（n-m）²+2）
∵AC=CP
∴m-n=2+（m-n）²-2，
即m-n=（m-n）²，
∴m-n=0或m-n=1，
又∵C點不與端點A、B重合
∴m≠n，
即m-n=1，
則A（m，2），P（m-1，1）
由AC=CP可得BE=AB
∵OB=2
∴OE=2-m，
∴△OPE的面積S=（2-m）（m-1）=-（m-）²+（1＜m＜2），
∴0＜S≤．
分析：（1）根據(jù)題意得頂點A的坐標為（2，a），然后設(shè)P（1，n）代入x=-，得A點的橫坐標為m，求得函數(shù)的解析式，把P點的坐標代入得n=1，從而求得函數(shù)的解析式；
（2）把拋物線化為頂點式：y=-（x-m）²+2，求得其頂點坐標，設(shè)C（n，2），然后表示出P（n，-（n-m）²+2）根據(jù)AC=CP求得m-n的值，然后表示出OB、OE的值從而表示出△OPE的面積，進而求得面積的取值范圍．
點評：本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確的用字母表示出點的坐標，并利用題目的已知條件得到有關(guān)的方程或不等式，從而求得未知數(shù)的值或取值范圍．