已知拋物線y=-x2+2mx-m2+2的頂點A在第一象限,過點A作AB⊥y軸于點B,C是線段AB上一點(不與點A、B重合),過點C作CD⊥x軸于點D并交拋物線于點P.
(1)若點C(1,a)是線段AB的中點,求點P的坐標;
(2)若直線AP交y軸的正半軸于點E,且AC=CP,求△OEP的面積S的取值范圍.

解:(1)依題意得頂點A的坐標為(2,a),
設(shè)P(1,n)據(jù)x=-

,得A點的橫坐標為m,即m=2,
所以y=-x
2+4x-2,把P點的坐標代入得n=1,
即P點的坐標為(1,1)
(2)把拋物線化為頂點式:y=-(x-m)
2+2,
可知A(m,2),設(shè)C(n,2),
把n代入y=-(x-m)
2+2得y=-(n-m)
2+2,
所以P(n,-(n-m)
2+2)
∵AC=CP
∴m-n=2+(m-n)
2-2,
即m-n=(m-n)
2,
∴m-n=0或m-n=1,
又∵C點不與端點A、B重合
∴m≠n,
即m-n=1,
則A(m,2),P(m-1,1)
由AC=CP可得BE=AB
∵OB=2
∴OE=2-m,
∴△OPE的面積S=

(2-m)(m-1)=-

(m-

)
2+

(1<m<2),
∴0<S≤

.
分析:(1)根據(jù)題意得頂點A的坐標為(2,a),然后設(shè)P(1,n)代入x=-

,得A點的橫坐標為m,求得函數(shù)的解析式,把P點的坐標代入得n=1,從而求得函數(shù)的解析式;
(2)把拋物線化為頂點式:y=-(x-m)
2+2,求得其頂點坐標,設(shè)C(n,2),然后表示出P(n,-(n-m)
2+2)根據(jù)AC=CP求得m-n的值,然后表示出OB、OE的值從而表示出△OPE的面積,進而求得面積的取值范圍.
點評:本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是正確的用字母表示出點的坐標,并利用題目的已知條件得到有關(guān)的方程或不等式,從而求得未知數(shù)的值或取值范圍.