已知定理“若大于3的三個質數a、b、c滿足關系式2a+5b=c,則a+b+c是整數n的倍數”.試問:這個定理中的整數n的最大可能值是多少?請證明你的結論.
【答案】分析:先將a+b+c化為3(a+2b)的形式,說明a+b+c是3的倍數,然后利用整除的性質對a、b被3整除后的余數加以討論,得出a+2b也為3的倍數.
解答:證明:∵a+b+c=a+b+2a+5b=3(a+2b),
顯然,3|a+b+c,
若設a、b被3整除后的余數分別為ra、rb,則ra≠0,rb≠0.
若ra≠rb,則ra=2,rb=1或ra=1,rb=2,
則2a+5b=2(3m+2)+5(3n+1)=3(2m+5n+3),或者2a+5b=2(3p+1)+5(3q+2)=3(2P+5q+4),
即2a+5b為合數與已知c為質數矛盾.
∴只有ra=rb,則ra=rb=1或ra=rb=2.
于是a+2b必是3的倍數,從而a+b+c是9的倍數.
a、b為大于3的質數,依題意,
取a=11,b=5,則2a+5b=2×11十5×5=47,
a+b+c=11+5+47=63,
取a=13,b=7,則2a+5b=2×13十5×7=61,
a+b+c=13+7+61=81,
而(63,81)=9,故9為最大可能值.
點評:本題考查了數的整除性問題.由余數切入進行討論,是解決整除問題的重要方法.