如圖,已知拋物線與x軸交于點(diǎn)A,B,AB=2,與y軸交于點(diǎn)C,對(duì)稱軸為直線x=2.
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)設(shè)P為對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn),求△APC周長(zhǎng)的最小值;
(3)設(shè)D為拋物線上一點(diǎn),E為對(duì)稱軸上一點(diǎn),若以點(diǎn)A,B,D,E為頂點(diǎn)的四邊形是菱形,則點(diǎn)D的坐標(biāo)為 .
解:(1)∵AB=2,對(duì)稱軸為直線x=2,
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)是(3,0)。
設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為,
將A(1,0)代入得:,解得
。
∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為,即
。
(2)如圖1,連接AC、BC,BC交對(duì)稱軸于點(diǎn)P,連接PA.
由(1)拋物線解析式為,A(1,0),B(3,0),
∴C(0,3)。
∴。
∵點(diǎn)A、B關(guān)于對(duì)稱軸x=2對(duì)稱,∴PA=PB�!郟A+PC=PB+PC。此時(shí),PB+PC=BC。
∴點(diǎn)P在對(duì)稱軸上運(yùn)動(dòng)時(shí),(PA+PB)的最小值等于BC。
∴△APC的周長(zhǎng)的最小值=AC+AP+PC=AC+BC=。
(3)(2,﹣1)。
【解析】
試題分析:(1)根據(jù)拋物線對(duì)稱軸的定義易求A(1,0),B(3,0),所以設(shè)拋物線的頂點(diǎn)式,將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入即可求得h,得到拋物線的函數(shù)表達(dá)式。
(2)如圖1,連接AC、BC,BC交對(duì)稱軸于點(diǎn)P,連接PA.根據(jù)拋物線的對(duì)稱性質(zhì)得到PA=PB,則△APC的周長(zhǎng)的最小值=AC+AP+PC=AC+BC,所以根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式來求該三角形的周長(zhǎng)的最小值即可。
(3)如圖2,根據(jù)“菱形ADBE的對(duì)角線互相垂直平分,拋物線的對(duì)稱性”得到點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo),即(2,﹣1)�!�
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