Question

在△ABC中，∠A=90°，AB=8，AC=6，M是AB上的動(dòng)點(diǎn)（不與A，B重合），過(guò)M點(diǎn)作MN∥BC交AC于點(diǎn)N．以MN為直徑作⊙O，并在⊙O內(nèi)作內(nèi)接矩形AMPN．設(shè)AM=x．
（1）用含x的代數(shù)式表示△MNP的面積S；
（2）在動(dòng)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，記△MNP與梯形BCNM重合的面積為y，試求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并求x為何值時(shí)，y的值最大，最大值是多少．

Answer 1

解：（1）∵M(jìn)N∥BC，
∴△AMN∽△ABC，
∴=，即=，解得AN=x，
∴△AMN的面積=•x•x=x²，
∵四邊形AMPN是矩形，
∴S=•x•x=x²（0＜x≤8）；

（2）若P點(diǎn)在BC上時(shí)，
∵四邊形AMPN是矩形，
∴O點(diǎn)為AP的中點(diǎn)，
而MN∥BC，
∴MN為△ABC的中位線，此時(shí)AM=4，
當(dāng)0＜x≤4時(shí)，y=S=•x•x=x²，此時(shí)x=4，y的最大值為6；
當(dāng)4＜x≤8時(shí)，PM與PN分別交BC于E、F，如圖，
y=S_梯形MEFN=S_△PMN-S_△PEF，
∵四邊形AMPN是矩形，
∴PN=AM=x，
∵M(jìn)N∥BC，
∴四邊形BFNM是平行四邊形，
∴FN=BM=8-x，PF=PN-FN=x-（8-x）=2x-8，
∵Rt△PEF∽R(shí)t△ACB，
∴=（）²=（）²，
而S_△ABC=×8×6=24，
∴S_△PEF=（x-4）²，
∴y=x²-（x-4）²
=-x²+12x-24，
=-（x-）²+8（4＜x≤8），
∵a=-＜0，
∴當(dāng)x=時(shí)，y有最大值，最大值為8，
綜上所述，當(dāng)x=時(shí)，y有最大值，最大值為8．
分析：（1）先證明△AMN∽△ABC，則可根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求AN，然后由三角形的面積公式求得用x的代數(shù)式表示的△AMN的面積S；
（3）先求出P點(diǎn)在BC上時(shí)AM的值，然后進(jìn)行討論：當(dāng)0＜x≤4時(shí)，y=S=•x•x=x²，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到x=4，y的最大值為6；當(dāng)4＜x≤8時(shí)，PM與PN分別交BC于E、F，y=S_梯形MEFN=S_△PMN-S_△PEF，利用矩形的性質(zhì)可表示出PN=AM=x；再由平行四邊形BFNM的性質(zhì)解得FN=8-x，PF=2x-8，則可利用相似三角形Rt△PEF∽R(shí)t△ABC的性質(zhì)求得S_△PEF值；然后寫(xiě)出y與x的解析式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出y的最大值，最后綜合兩種情況即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合題：掌握?qǐng)A周角定理及其推論；熟練運(yùn)用相似三角形的有關(guān)知識(shí)進(jìn)行幾何計(jì)算和二次函數(shù)的性質(zhì)解決最值問(wèn)題．