Question

【題目】如圖，平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（8，0）和點(diǎn)B（0，6），點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在折線AOB上，直線CP截△AOB，所得的三角形與△AOB相似，那么點(diǎn)P的坐標(biāo)是 ．

Answer 1

【答案】（0，3）、（4，0）、（ ，0）
【解析】解：當(dāng)PC∥OA時(shí)，△BPC∽△BOA，
由點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，可得P為OB的中點(diǎn)，
此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）；
當(dāng)PC∥OB時(shí)，△ACP∽△ABO，
由點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，可得P為OA的中點(diǎn)，
此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0）；
當(dāng)PC⊥AB時(shí)，如圖，
∵∠CAP=∠OAB，
∴Rt△APC∽R(shí)t△ABC，
∴ = ，
∵點(diǎn)A（8，0）和點(diǎn)B（0，6），
∴AB= =10，
∵點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，
∴AC=5，
∴ = ，
∴AP= ，
∴OP=OA﹣AP=8﹣ = ，
此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（ ，0），
綜上所述，滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）、（4，0）、（ ，0）．
故答案為：（0，3）、（4，0）、（ ，0）

分類討論：當(dāng)PC∥OA時(shí)，△BPC∽△BOA，易得P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）；當(dāng)PC∥OB時(shí)，△ACP∽△ABO，易得P點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0）；當(dāng)PC⊥AB時(shí)，如圖，由于∠CAP=∠OAB，則Rt△APC∽R(shí)t△ABC，計(jì)算出AB、AC，則可利用比例式計(jì)算出AP，于是可得到OP的長，從而得到P點(diǎn)坐標(biāo)．