Question

如圖，AB是半圓O的直徑，點M是半徑OA的中點，點P在線段AM上運動(不與點M重合)，點Q在半圓O上運動，且總保持PQ＝PO，過點Q作⊙O的切線交BA的延長線于點C．

(1)當∠QPA＝時，請你對△QCP的形狀做出猜想，并給予證明；

(2)當QP⊥AB時，△QCP的形狀是________三角形；

(3)由(1)(2)得出的結論，請進一步猜想當點P在線段AM上運動到任何位置時，△QCP一定是________三角形．

Answer 1

答案：
解析：

(1)連結QO，由QP＝OP得∠PQO＝∠POQ，又由∠QPC＝，可得∠QOC＝，由∠CQO＝得∠QCP＝，從而∠QCP＝∠QPC＝∠CQP＝，即△CQP為等邊三角形．或方法二；由PQ＝PO得∠PQO＝∠POQ，由∠PQO＋∠PQC＝∠QCO＋∠QOC＝得∠PCQ＝∠PQC，所以PQ＝PC，得△PCQ為等腰三角形，又由∠QPC＝，得△PCQ為等邊三角形． 　　(2)等腰直角三角形 　　(3)等腰三角形