Question

【題目】如圖，直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)交于A、B兩點(diǎn)，連接OA、OB，軸于點(diǎn)M，軸于點(diǎn)N，有以下結(jié)論：①；②；③則；④當(dāng)時(shí)，．其中結(jié)論正確的是___________

Answer 1

【答案】①②③④

【解析】

①②設(shè)A（，），B（，），聯(lián)立y=-x+b與y=得，則=k，又=k，比較可知=，同理可得=，即ON=OM，AM=BN，可證結(jié)論；

③作OH⊥AB，垂足為H，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可證△OAM≌△OAH≌△OBH≌△OBN，可證S△AOB=k；
④延長(zhǎng)MA，NB交于G點(diǎn)，可證△ABG為等腰直角三角形，當(dāng)AB=時(shí)，GA=GB=1，則ON-BN=GN-BN=GB=1；

設(shè)A（，），B（，），代入y=中，得==k，

聯(lián)立，

得，
則=k，又=k，
∴=，
同理=k，
可得=，
∴ON=OM，AM=BN，

∵∠AMO=∠BNO=90，

∴△AOM≌△BON，②正確；
∴OA=OB，①正確；
③作OH⊥AB，垂足為H，

∵OA=OB，∠AOB=45°，且△AOM≌△BON，
∴∠MOA=∠BON=22.5°，∠AOH=∠BOH=22.5°，
∴△OAM≌△OAH≌△OBH≌△OBN，
∴S△AOB=S△AOH+S△BOH=S△AOM+S△BON=，正確；
④延長(zhǎng)MA，NB交于G點(diǎn)，

∵NG=OM=ON=MG，BN=AM，
∴GB=GA，
∴△ABG為等腰直角三角形，
當(dāng)AB時(shí)，GA=GB=1，
∴ON-BN=GN-BN=GB=1，正確；

綜上，①②③④都正確．