Question

（2012•武漢）在銳角三角形ABC中，BC=5，sinA=

4

5

，
（1）如圖1，求三角形ABC外接圓的直徑；
（2）如圖2，點I為三角形ABC的內(nèi)心，BA=BC，求AI的長．

Answer 1

分析：（1）作DB垂直于BC，連DC，求出∠DBC=90°，∠A=∠D，根據(jù)sinA的值求出即可；
（2）連接IC、BI，且延長BI交AC于F，過I作IE⊥AB于E，求出BF⊥AC，AF=CF，根據(jù)sinA求出BF/AB，求出AC，根據(jù)三角形的面積公式得出5×R+5×R+6×R=6×4，求出R，在△AIF中，由勾股定理求出AI即可．

解答：（1）解：作DB垂直于BC，連DC，
∵∠DBC=90°，∴DC為直徑．
∵∠A=∠D，BC=5，sinA=

4

5

，
∴sinD=

BC

CD

=

4

5

，
∴CD=

25

4

，
答：三角形ABC外接圓的直徑是

25

4

．

（2）解：連接IC、BI，且延長BI交AC于F，過點I作IG⊥BC于點G，過I作IE⊥AB于E，
∵AB=BC=5，I為△ABC內(nèi)心，
∴BF⊥AC，AF=CF，
∵sinA=

4

5

=

BF

AB

，
∴BF=4，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：AF=CF=3，
AC=2AF=6，
∵I是△ABC內(nèi)心，IE⊥AB，IF⊥AC，IG⊥BC，
∴IE=IF=IG，
設(shè)IE=IF=IG=R，
∵△ABI、△ACI、△BCI的面積之和等于△ABC的面積，
∴

1

2

AB×R+

1

2

BC×R+

1

2

AC×R=

1

2

AC×BF，
即5×R+5×R+6×R=6×4，
∴R=

3

2

，
在△AIF中，AF=3，IF=

3

2

，由勾股定理得：AI=

3

2

5

．
答：AI的長是

3

2

5

．

點評：本題考查了三角形的面積公式，三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理等知識點的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運用性質(zhì)進(jìn)行推理和計算的能力，題目綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度．