Question

（2013•南平模擬）在平面直角坐標系xOy中，矩形ABCD如圖放置，邊AB在x軸上，點A坐標為（1，0），點C坐標為（3，m）（m＞0）．連接OC交AD與E，射線OD交BC延長線于F．
（1）求點E、F的坐標﹔
（2）當x的值改變時：
①證明﹕經過O、E、F三點的拋物線的最低點一定為原點﹔
②設經過O、E、F三點的拋物線與直線CD的交點為P，求PD的長﹔
③探究﹕△ECF能否成為等腰三角形？若能，請求出△ECF 的面積．

Answer 1

分析：（1）根據相似三角形的判定和性質即可求出點E、F的坐標﹔
（2）①二次函數(shù)的圖象經過坐標原點O，可設二次函數(shù)為y=ax²+bx，根據待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式，即可證明經過O、E、F三點的拋物線的最低點一定為原點﹔
②根據縱坐標相等可得方程，求得x的值，從而得到PD的長﹔
③根據等腰三角形的性質可得關于m的方程，求得m的值，再根據三角形的面積公式即可求解．

解答：（1）解：∵點A坐標為（1，0），點C坐標為（3，m），
∴OA=1，OB=3，BC=AD=m，
∵AE∥BC，
∴△OAE∽△OBC，
∴

OA

OB

=

AE

BC

，即AE=

OA•BC

OB

=

m

3

，
∴點E坐標為（1，

m

3

），
同理，得△OAD∽△OBF，
∴

OA

OB

=

AD

BF

，即BF=

OB•AD

OA

=3m，
∴點F坐標為（1，3m）；

（2）證明：∵二次函數(shù)的圖象經過坐標原點O，
∴設二次函數(shù)為y=ax²+bx，
又∵二次函數(shù)的圖象經過E、F，
∴

a+b= m 3 9a+3b=3m

，
解得

a= m 3 b=0

．
∴二次函數(shù)的解析式為y=

m

3

x²，
∴拋物線的最低點一定為原點﹔
②解：∵m=

m

3

x²，
解得x=±

3

，
∴PD的長為

3

-1，

3

+1；
③答：能．
∵∠ECF為鈍角，
∴僅當EC=FC時，△ECF為等腰三角形，
由EC²=FC²，得CD²+ED²=FC²，
即2²+（m-

m

3

）²=（3m-m）²，
解得m=±

3

4

2

，
∵m＞0，
∴m=

3

4

2

，
∴△ECF的面積=

1

2

FC•CD=

1

2

×2m×2=

3

2

2

．

點評：考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識點有：平行線的性質，相似三角形的判定和性質，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，等腰三角形的性質，三角形的面積，方程思想的運用，綜合性較強，有一定的難度．