Question

（2013•重慶）如圖，已知拋物線y=x²+bx+c的圖象與x軸的一個交點為B（5，0），另一個交點為A，且與y軸交于點C（0，5）．
（1）求直線BC與拋物線的解析式；
（2）若點M是拋物線在x軸下方圖象上的一動點，過點M作MN∥y軸交直線BC于點N，求MN的最大值；
（3）在（2）的條件下，MN取得最大值時，若點P是拋物線在x軸下方圖象上任意一點，以BC為邊作平行四邊形CBPQ，設平行四邊形CBPQ的面積為S₁，△ABN的面積為S₂，且S₁=6S₂，求點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）設直線BC的解析式為y=mx+n，將B（5，0），C（0，5）兩點的坐標代入，運用待定系數法即可求出直線BC的解析式；同理，將B（5，0），C（0，5）兩點∑的坐標代入y=x²+bx+c，運用待定系數法即可求出拋物線的解析式；
（2）MN的長是直線BC的函數值與拋物線的函數值的差，據此可得出一個關于MN的長和M點橫坐標的函數關系式，根據函數的性質即可求出MN的最大值；
（3）先求出△ABN的面積S₂=5，則S₁=6S₂=30．再設平行四邊形CBPQ的邊BC上的高為BD，根據平行四邊形的面積公式得出BD=3

2

，過點D作直線BC的平行線，交拋物線與點P，交x軸于點E，在直線DE上截取PQ=BC，則四邊形CBPQ為平行四邊形．證明△EBD為等腰直角三角形，則BE=

2

BD=6，求出E的坐標為（-1，0），運用待定系數法求出直線PQ的解析式為y=-x-1，然后解方程組

y=-x-1 y=x2-6x+5

，即可求出點P的坐標．

解答：解：（1）設直線BC的解析式為y=mx+n，
將B（5，0），C（0，5）兩點的坐標代入，
得

5m+n=0 n=5

，解得

m=-1 n=5

，
所以直線BC的解析式為y=-x+5；
將B（5，0），C（0，5）兩點的坐標代入y=x²+bx+c，
得

25+5b+c=0 c=5

，解得

b=-6 c=5

，
所以拋物線的解析式為y=x²-6x+5；

（2）設M（x，x²-6x+5）（1＜x＜5），則N（x，-x+5），
∵MN=（-x+5）-（x²-6x+5）=-x²+5x=-（x-

5

2

）²+

25

4

，
∴當x=

5

2

時，MN有最大值

25

4

；

（3）∵MN取得最大值時，x=2.5，
∴-x+5=-2.5+5=2.5，即N（2.5，2.5）．
解方程x²-6x+5=0，得x=1或5，
∴A（1，0），B（5，0），
∴AB=5-1=4，
∴△ABN的面積S₂=

1

2

×4×2.5=5，
∴平行四邊形CBPQ的面積S₁=6S₂=30．
設平行四邊形CBPQ的邊BC上的高為BD，則BC⊥BD．
∵BC=5

2

，
∴BC•BD=30，
∴BD=3

2

．
過點D作直線BC的平行線，交拋物線與點P，交x軸于點E，在直線DE上截取PQ=BC，則四邊形CBPQ為平行四邊形．
∵BC⊥BD，∠OBC=45°，
∴∠EBD=45°，
∴△EBD為等腰直角三角形，BE=

2

BD=6，
∵B（5，0），
∴E（-1，0），
設直線PQ的解析式為y=-x+t，
將E（-1，0）代入，得1+t=0，解得t=-1
∴直線PQ的解析式為y=-x-1．
解方程組

y=-x-1 y=x2-6x+5

，得

x1=2 y1=-3

，

x2=3 y2=-4

，
∴點P的坐標為P₁（2，-3）（與點D重合）或P₂（3，-4）．

點評：本題是二次函數的綜合題，其中涉及到運用待定系數法求一次函數、二次函數的解析式，二次函數的性質，三角形的面積，平行四邊形的判定和性質等知識點，綜合性較強，考查學生運用方程組、數形結合的思想方法．（2）中弄清線段MN長度的函數意義是關鍵，（3）中確定P與Q的位置是關鍵．