Question

已知以x為自變量的二次函數(shù)y=x²-（2m-2）x+（m²-m-2）的圖象經過原點O，并與x軸相交于點M，且M在原點的右邊．
（1）求這個二次函數(shù)的解析式；
（2）一次函數(shù)y=kx+b的圖象經過點M，與這個二次函數(shù)的圖象交于點N，且△OMN的面積等于3，求這個一次函數(shù)的解析式．

Answer 1

分析：（1）已知函數(shù)圖象經過原點，可將原點坐標代入拋物線的解析式中，可求得m的值，然后根據(jù)函數(shù)與x軸的另一交點在原點右邊，可將不合題意的m的值舍去．
（2）可根據(jù)三角形OMN的面積求得N點的縱坐標的絕對值，然后將其代入拋物線的解析式中即可求得N點的坐標，根據(jù)M、N兩點的坐標即可求出直線的解析式．

解答：解：（1）∵二次函數(shù)y=x²-（2m-2）x+（m²-m-2）的圖象經過原點O，
∴m²-m-2=0，解得m=-1，m=2．
當m=-1時，二次函數(shù)的解析式為y=x²+4x，它的圖象經過原點，并與x軸相交于原點左邊的點（-4，0），（不合題意，舍去）；
當m=2時，二次函數(shù)的解析式為y=x²-2x，它的圖象經過原點，并與x軸相交于原點右邊的點（2，0），符合題意，所以所求的二次函數(shù)的解析式為y=x²-2x．

（2）由（1）中二次函數(shù)y=x²-2x，它的圖象經過原點，且與x軸相交于點M（2，0），
設點N的坐標為（x，y），則S_△OMN=

1

2

×2×|y|=3，
∴|y|=3，
∵二次函數(shù)y=x²-2x的圖形是開口向上，頂點為（1，-1）的拋物線；
∴拋物線上沒有縱坐標為-3的點，
∴y=3，
當y=3時，x²-2x=3，解得x=3，x=-1．
則點N₁（3，3），N₂（-1，3）．
當函數(shù)y=kx+b的圖形經過點M（2，0），N₁（3，3）時，則：

2k+b=0 3k+b=3

，
解得

k=3 b=-6

；
∴所求一次函數(shù)的解析式為y=3x-6．
當函數(shù)y=kx+b的圖形經過點M（2，0），N₂（-1，3）時，則：

2k+b=0 -k+b=3

，
解得

k=-1 b=2

，
∴所求一次函數(shù)的解析式為y=-x+2．

點評：本題主要考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式及二次函數(shù)圖象上點的坐標特點．