Question

如圖，平面直角坐標系的單位是厘米，直線AB的解析式為y=

3

x-6

3

，分別與x 軸y軸相交于A、B 兩點．動點C從點B出發(fā)沿射線BA以3cm/秒的速度運動，以C點為圓心作半徑為1cm的⊙C．
（1）求A、B兩點的坐標；
（2）設⊙C運動的時間為t，當⊙C和坐標軸相切時，求時間t的值．
（3）在點C運動的同時，另有動點P以2cm/秒的速度在線段OA上來回運動，過點P作直線l垂直于x軸．若點C與點P同時分別從點B、點O開始運動，求直線l與⊙C所有相切時點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）由直線AB的解析式為y=

3

x-6

3

，分別與x 軸y軸相交于A、B 兩點，即可求得A、B兩點的坐標；
（2）分別從當⊙C與y軸相切時，當⊙C與x軸相切，且在x軸下方時與當⊙C與x軸相切，且在x軸上方時去分析，利用切線的性質由相似三角形的性質，即可求得答案；
（3）分別從第一、二、三、四次相切時去分析求解，又由t≤

6+1

1.5

，即t≤

14

3

，即可求得答案．

解答：解：（1）∵直線AB的解析式為y=

3

x-6

3

，分別與x 軸y軸相交于A、B 兩點．
∴當x=0時，y=-6

3

，當y=0時，x=6，
∴A（6，0），B（0，-6

3

）；（2分）

（2）∵A（6，0），B（0，-6

3

）；
∴OA=6，OB=6

3

，
∴AB=

OA2+OB2

=12，
當⊙C與y軸相切時，設切點為D，連接CD，
則CD⊥y軸，
∴CD∥OA，
∴△BCD∽△BAO，
∴CD：OA=BC：AB，
即1：6=BC：12，
∴BC=2，
∵動點C從點B出發(fā)沿射線BA以3cm/秒的速度運動，
∴t=

2

3

；（4分）
當⊙C與x軸相切，且在x軸下方時，
設切點為E，連接CE，則CE⊥x軸，
∴CE∥OB，
∴△AEC∽△AOB，
∴EC：OB=AC：AB，
即1：6

3

=AC：12，
解得：AC=

2

3

3

，
∴BC=AC-EC=12-

2

3

3

，
∴t=4-

2

9

3

；
當⊙C與x軸相切，且在x軸上方時，BC=12+

2

3

3

，
∴t=4+

2

9

3

；（8分）
綜上t=

2

3

或t=4-

2

9

3

或t=4+

2

9

3

；

（3）∵在Rt△AOB中，tan∠OBA=

OA

OB

=

3

3

，
∴∠OBA=30°，
∵動點C從點B出發(fā)沿射線BA以3cm/秒的速度運動，
∴⊙C沿x軸正方向的速度為每秒1.5cm，
①第一次相切時，2t-1.5t=1，得：t=2，P₁（4，0）；（9分）
②第二次相切  2t+1.5t+1=12，得t=

22

7

，P₂（

40

7

，0）；（10分）
③第三次相切  2t+1.5t-1=12，得t=

26

7

，P₃（

32

7

，0）；（11分）
④第四次相切  2t-12+1=1.5t，得t=22，
∵t≤

6+1

1.5

，即t≤

14

3

，
∴t=22＞

14

3

（不符合題意舍去）；（12分）
綜上：p₁（4，0）或P₂（

40

7

，0）或P₃（

32

7

，0）．

點評：此題考查了切線的性質、相似三角形的判定與性質、直線與圓的位置關系以及一次函數(shù)的性質．此題綜合性較強，難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意掌握方程思想、分類討論思想與數(shù)形結合思想的應用．