如圖,平面直角坐標(biāo)系中,矩形OABC的兩頂點A,C坐標(biāo)分別為(8,0)(0,4),將矩形沿對角線OB按圖中方式折疊,此時A點落在A′處,且OA′與BC邊交于點D.
(1)求過點O,D,A的拋物線的解析式;
(2)在(1)中的拋物線對稱軸上有一動點P,當(dāng)點P運動到什么位置時,△PAA′的周長最��?(請用P點的坐標(biāo)表示P點的位置,寫出過程)
(3)在(1)中的拋物線對稱軸上是否存在一點Q,使得以A、D、Q三點為頂點的三角形是直角三角形?若存在,求出Q點坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

【答案】分析:(1)欲求拋物線的解析式,就必須先求出D點的坐標(biāo),也就要求出CD的長;根據(jù)折疊的性質(zhì)知:AB=A′B=OC=4,易證得△OCD≌△BA′D,那么CD=A′D,BD=BC-CD=8-CD,在Rt△A′BD中,利用勾股定理即可求出CD的長,從而得到點D的坐標(biāo),進而可由待定系數(shù)法求得拋物線的解析式.
(2)△PAA′中,AA′的長是定值,若此三角形的周長最小,那么PA+PA′的長最小,由于O、A關(guān)于拋物線的對稱軸對稱,那么P點必為直線OA′與拋物線對稱軸的交點;過A′作x軸的垂線,交BC于M,交OA于N,在Rt△A′BD中,利用射影定理即可求得MD的長,利用直角三角形面積的不同表示方法即可求出A′N的長,由此求得點A′的坐標(biāo),進而得到直線OA′的解析式,聯(lián)立拋物線對稱軸方程,即可得到點P的坐標(biāo).
(3)此題應(yīng)分三種情況考慮:
①點D為直角頂點,那么QD⊥AD,易得直線AD的解析式,由于QD⊥AD,那么直線QD和直線AD的斜率的乘積為-1,結(jié)合D點坐標(biāo)即可求得直線DQ的解析式,聯(lián)立拋物線的對稱軸方程,即可求得點Q的坐標(biāo);
②點A為直角頂點,方法同①;
③點Q為直角頂點,設(shè)出點Q的坐標(biāo),由于DQ⊥AQ,那么兩條直線的斜率乘積為-1,可據(jù)此列出關(guān)于Q點縱坐標(biāo)的方程,從而求得點Q的坐標(biāo).
解答:解:(1)根據(jù)折疊的性質(zhì)知:∠DA′B=∠OAB=90°,A′B=AB=4;
∵OC=A′B,∠DA′B=∠DCO=90°,∠ODC=∠BDA′,
∴△OCD≌△BA′D,
∴CD=A′D;
設(shè)CD=A′D=x,則BD=8-x;
Rt△A′BD中,由勾股定理得:x2+42=(8-x)2
解得x=3;
故D(3,4);
設(shè)拋物線的解析式為:y=ax(x-8)2,
則有:3a(3-8)=4,
a=-;
∴y=-x(x-8)2=-x2+x.

(2)過A′作x軸的垂線,交BC于M,交OA于N;
在Rt△A′BD中,A′M⊥BD,則:
A′M=A′D•A′B÷BD=,
DM=A′D2÷BD=;
故CM=,A′N=,A′(,);
△A′AP中,AA′的長為定值,若周長最小,那么PA+PA′最��;
由于O、A關(guān)于拋物線的對稱軸對稱,則點P必為直線OA′與拋物線對稱軸的交點;
易求得直線OA′:y=x,
拋物線對稱軸:x=4;
當(dāng)x=4時,y=,即P(4,).

(3)假設(shè)存在符合條件的Q點,則有:
①D為△ADQ的直角頂點;
易求得直線AD的斜率:k==-
所以設(shè)直線DQ:y=x+h,
則有:×3+h=4,
解得h=,
即y=x+
當(dāng)x=4時,y=
故Q(4,);
②A為△ADQ的直角頂點,同①可求得Q(4,-5);
③Q為△ADQ的直角頂點,設(shè)Q(4,m),
則有:=-1,
即m2-4m-4=0;
解得m=2±2
即Q(4,2+2)或(4,2-2);
綜上可知:存在符合條件的Q點,且坐標(biāo)為:
Q(4,-5)或(4,)或(4,2+2)或(4,2-2).
點評:此題考查了矩形的性質(zhì)、圖形的翻折變換、二次函數(shù)解析式的確定、平面展開-最短路徑問題、直角三角形的判定、互相垂直的兩直線的斜率關(guān)系等重要知識,(3)題中,一定要根據(jù)不同直角頂點來分類討論,以免漏解.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,平面直角坐標(biāo)系中,O為直角三角形ABC的直角頂點,∠B=30°,銳角頂點A在雙曲線y=
1x
上運動,則B點在函數(shù)解析式
 
上運動.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,平面直角坐標(biāo)系中,⊙P與x軸分別交于A、B兩點,點P的坐標(biāo)為(3,-1),AB精英家教網(wǎng)=2
3

(1)求⊙P的半徑.
(2)將⊙P向下平移,求⊙P與x軸相切時平移的距離.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,平面直角坐標(biāo)系中,OB在x軸上,∠ABO=90°,點A的坐標(biāo)為(1,2).將△AOB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°,則點O的對應(yīng)點C的坐標(biāo)為(  )

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖:平面直角坐標(biāo)系中,△ABC的三個頂點的坐標(biāo)為A(a,0),B(b,0),C(0,c),且a,b,c滿足
a+2
+|b-2|+(c-b)2=0
.點D為線段OA上一動點,連接CD.
(1)判斷△ABC的形狀并說明理由;
(2)如圖,過點D作CD的垂線,過點B作BC的垂線,兩垂線交于點G,作GH⊥AB于H,求證:
S△CAD
S△DGH
=
AD
GH
;
(3)如圖,若點D到CA、CO的距離相等,E為AO的中點,且EF∥CD交y軸于點F,交CA于M.求
FC+2AE
3AM
的值.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖在平面直角坐標(biāo)系中,A點坐標(biāo)為(8,0),B點坐標(biāo)為(0,6)C是線段AB的中點.請問在y軸上是否存在一點P,使得以P、B、C為頂點的三角形與△AOB相似?若存在,求出P點坐標(biāo);若不存在,說明理由.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案
闁稿骏鎷� 闂傚偊鎷�