Question

（2012•路南區(qū)一模）如圖，已知函數(shù)y=

3

x

，點P為第一象限分支上一動點，以P為圓心1為半徑畫圓，當⊙P和x軸相切時，拋物線y=ax²+bx（a＞0，b＜0）與y=

3

x

的圖象交于點P，與x軸交于A點．根據(jù)所給條件，解答下列問題：
（1）關(guān)于x的方程ax²+bx-

3

x

=0的解為

x=3

；
（2）如果拋物線y=ax²+bx的對稱軸為x=1，求拋物線的解析式以及A點坐標；
（3）直接回答a的值能否為

1

10

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)⊙P和x軸相切可知點P的縱坐標是1，代入拋物線解析式求出x的值，即可得到點P的坐標，然后根據(jù)方程的解即為點P的橫坐標解答；
（2）根據(jù)對稱軸解析式與點A的坐標得到關(guān)于a、b的二元一次方程組，解方程組求出a、b的值，即可得到拋物線解析式，然后令y=0，解關(guān)于x的一元二次方程即可得到點A的坐標；
（3）把點P的坐標代入拋物線，然后用b表示出a，再根據(jù)b＜0判斷出a的取值范圍，即可進行判斷．

解答：解：（1）∵⊙P和x軸相切時，⊙P的半徑為1，
∴點P的縱坐標為1，
當y=1時，

3

x

=1，
解得x=3，
所以，點P的坐標是（3，1），
所以，方程的解是x=3；

（2）由（1）可知，點P（3，1），
又∵拋物線y=ax²+bx的對稱軸為x=1，
∴

- b 2a =1 9a+3b=1

，
解得

a= 1 3 b=- 2 3 .

所以，拋物線的解析式為y=

1

3

x²-

2

3

x，
令

1

3

x²-

2

3

x=0，
解得x₁=0，x₂=2，
所以，點A（2，0）；

（3）∵點P（3，1）在拋物線上，
∴9a+3b=1，
a=

1-3b

9

，
∵b＜0，
∴-b＞0，
∴1-3b＞1，
∴a＞

1

9

，
∵

1

10

＜

1

9

，
∴a的值不能為

1

10

．

點評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要涉及直線與圓相切，利用圖象的交點求方程的解，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，以及拋物線與x軸的交點問題，都是基本應(yīng)用，難度不大．