Question

是否可能將正整數(shù)1，2，3，…64分別填入8×8的正方形的64個(gè)小方格內(nèi)，使得形如圖（方向可以任意轉(zhuǎn)置）的任意四個(gè)小方格內(nèi)數(shù)總能被5整除，試說明理由．

Answer 1

分析：可用反證法來證明，假設(shè)有符合題設(shè)的填數(shù)方法，然后看看有沒有矛盾即可．

解答：解：不可能
可用反證法來證明，假設(shè)有符合題設(shè)的填數(shù)方法a，b，c，d，e，f，g，h，i，j，k，l
∴5|b+c+f+g，5|j+e+f+g，作差有5|b-j，即b與j被5除同余，設(shè)余數(shù)為r．
∵5|j+f+b+g，5|e+f+b+g，∴5|j-e，即j與e被5除同余，余數(shù)也是r．
將圖中的64個(gè)方格染成黑白相間的形式，可得：
b，j，e，g，d，…即除角上兩黑格中的兩數(shù)外，其余黑格中的0個(gè)數(shù)被5除都同余r．
這就與1至64這64個(gè)正整數(shù)中最多有13 個(gè)數(shù)被5除同余矛盾．
∴不可能有題設(shè)中的填法．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)的整除性問題，關(guān)鍵是畫出圖通過反證法證明．