Question

在△ABC中，點D、E、F分別為邊BC、AB、AC的中點，點G為線段DF上一點（點G不與D、F重合），AG的延長線交BC于點K，交ED的延長線于點H，連接BH．

（1）如圖1：若∠BAC=90°，寫出圖中所有與∠HBD相等的角，并選取一個給出證明．
（2）如圖2：若∠BAC≠90°，在（1）中與∠HBD相等的角中找出一個仍然與∠HBD相等的角，并給出證明．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)及相關(guān)條件可以得出EH是AB的中垂線，就可以得出∠HBD=∠DAH，DF是AC的中垂線，就可以得出∠DAH=∠DCG，從而就可以得出與∠HBD相等的角；
（2）由D、E、F是中點，就有ED∥AC，DF∥AB，就可以得出△KDG∽△KBA，可以得出

DK

BK

=

KG

KA

，再由△KDH∽△KCA，由其性質(zhì)可以得出

KD

KC

=

KH

KA

，就可以得出KC•KH=KB•KG，由∠BKH=∠CKA就可以得到△HKB∽△CKA，再由其性質(zhì)及號得出結(jié)論．

解答：解：（1）∵點D、E、F分別為邊BC、AB、AC的中點，
∴DE、DF是△ABC的中位線，BD=CD=

1

2

BC，BE=AE，AF=CF．
∴ED∥AC，DF∥AB．
∵∠BAC=90°，
∴AD=

1

2

BC，
∴BD=CD=AD．
∴∠ABD=∠BAD，∠DAC=∠DCA
∴ED是AB的垂直平分線，DF是AC的垂直平分線，
∴BH=AH，AG=AC，
∴∠HBA=∠HAB，∠GAC=∠GCA．
∴∠HBD=∠HAD，∠HAD=∠DCG，
∴∠HBD=∠HAD=∠DCG，
∴與∠HBD相等的角有：∠HAD、∠DCG；

（2）如圖2，∠HBD=∠GCK
∵DG∥AB，
∴△KDG∽△KBA，
∴

DK

BK

=

KG

KA

，
∴DK•KA=BK•KG．
∵DH∥AC，
∴△KDH∽△KCA，
∴

KD

KC

=

KH

KA

，
∴KD•KA=KC•KH，
∴BK•KG=KC•KH，
∴

BK

KC

=

KH

KG

．
∵∠BKH=∠CKG，
∴△HKB∽△GKC，
∴∠HBD=∠GCK．

點評：本題考查了直角三角形的性質(zhì)的運用，中垂線的性質(zhì)的運用，等腰三角形的性質(zhì)的運用，相似三角形的判定與性質(zhì)的運用，在解答本題時巧妙運用相似三角形的性質(zhì)是關(guān)鍵．