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【題目】已知拋物線C1y=ax2+bx+a≠0)經過點A-1,0)和B3,0).

1)求拋物線C1的解析式,并寫出其頂點C的坐標;

2)如圖1,把拋物線C1沿著直線AC方向平移到某處時得到拋物線C2,此時點A,C分別平移到點DE處.設點F在拋物線C1上且在x軸的下方,若△DEF是以EF為底的等腰直角三角形,求點F的坐標;

3)如圖2,在(2)的條件下,設點M是線段BC上一動點,EN⊥EM交直線BF于點N,點P為線段MN的中點,當點M從點B向點C運動時:

①tan∠ENM的值如何變化?請說明理由;

M到達點C時,直接寫出點P經過的路線長.

【答案】(1,頂點C1,2);(2F﹣3,﹣6);(3tanENM=2,是定值,不發(fā)生變化;

【解析】試題分析:(1)根據待定系數法即可求得解析式,把解析式化成頂點式即可求得頂點坐標;

2)根據A、C的坐標求得直線AC的解析式為y=x+1,根據題意求得EF=4,求得EFy軸,設Fm,-m2+m+),則Em,m+1),從而得出(m+1--m2+m+=4,解方程即可求得F的坐標;

3先求得四邊形DFBC是矩形,作EGAC,交BFG,然后根據EGN∽△EMC,對應邊成比例即可求得tanENM==2;

根據勾股定理和三角形相似求得EN=,然后根據三角形中位線定理即可求得.

試題解析:(1拋物線C1y=ax2+bx+a≠0)經過點A-1,0)和B3,0),

解得

拋物線C1的解析式為y=-x2+x+,

y=-x2+x+=-x-12+2,

頂點C的坐標為(12);

2)如圖1,作CH⊥x軸于H

∵A-1,0),C12),

∴AH=CH=2,

∴∠CAB=∠ACH=45°,

直線AC的解析式為y=x+1,

∵△DEF是以EF為底的等腰直角三角形,

∴∠DEF=45°,

∴∠DEF=∠ACH

∴EF∥y軸,

DE=AC=2,

∴EF=4,

Fm-m2+m+),則Em,m+1),

m+1--m2+m+=4,

解得m=3(舍)或m=-3

∴F-3-6);

3①tan∠ENM的值為定值,不發(fā)生變化;

如圖2,

∵DF⊥AC,BC⊥AC

∴DF∥BC,

∵DF=BC=AC

四邊形DFBC是矩形,

EG⊥AC,交BFG,

EG=BC=AC=2,

∵EN⊥EM,

∴∠MEN=90°

∵∠CEG=90°,

∴∠CEM=∠NEG,

∴△ENG∽△EMC,

,

∵F-3-6),EF=4,

∴E-3,-2),

∵C1,2),

EC==4,

=2,

tanENM==2;

∵tan∠ENM的值為定值,不發(fā)生變化;

P經過的路徑是線段P1P2,如圖3,

四邊形BCEG是矩形,GP2=CP2

∴EP2=BP2,

∵△EGN∽△ECB,

EC=4,EG=BC=2,

EB=2,

,

EN=,

∵P1P2△BEN的中位線,

P1P2=EN=;

M到達點C時,點P經過的路線長為

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