【題目】已知拋物線C1:y=ax2+bx+(a≠0)經過點A(-1,0)和B(3,0).
(1)求拋物線C1的解析式,并寫出其頂點C的坐標;
(2)如圖1,把拋物線C1沿著直線AC方向平移到某處時得到拋物線C2,此時點A,C分別平移到點D,E處.設點F在拋物線C1上且在x軸的下方,若△DEF是以EF為底的等腰直角三角形,求點F的坐標;
(3)如圖2,在(2)的條件下,設點M是線段BC上一動點,EN⊥EM交直線BF于點N,點P為線段MN的中點,當點M從點B向點C運動時:
①tan∠ENM的值如何變化?請說明理由;
②點M到達點C時,直接寫出點P經過的路線長.
【答案】(1),頂點C(1,2);(2)F(﹣3,﹣6);(3)①tan∠ENM=2,是定值,不發(fā)生變化;②.
【解析】試題分析:(1)根據待定系數法即可求得解析式,把解析式化成頂點式即可求得頂點坐標;
(2)根據A、C的坐標求得直線AC的解析式為y=x+1,根據題意求得EF=4,求得EF∥y軸,設F(m,-m2+m+),則E(m,m+1),從而得出(m+1)-(-m2+m+)=4,解方程即可求得F的坐標;
(3)①先求得四邊形DFBC是矩形,作EG⊥AC,交BF于G,然后根據△EGN∽△EMC,對應邊成比例即可求得tan∠ENM==2;
②根據勾股定理和三角形相似求得EN=,然后根據三角形中位線定理即可求得.
試題解析:(1)∵拋物線C1:y=ax2+bx+(a≠0)經過點A(-1,0)和B(3,0),
∴解得,
∴拋物線C1的解析式為y=-x2+x+,
∵y=-x2+x+=-(x-1)2+2,
∴頂點C的坐標為(1,2);
(2)如圖1,作CH⊥x軸于H,
∵A(-1,0),C(1,2),
∴AH=CH=2,
∴∠CAB=∠ACH=45°,
∴直線AC的解析式為y=x+1,
∵△DEF是以EF為底的等腰直角三角形,
∴∠DEF=45°,
∴∠DEF=∠ACH,
∴EF∥y軸,
∵DE=AC=2,
∴EF=4,
設F(m,-m2+m+),則E(m,m+1),
∴(m+1)-(-m2+m+)=4,
解得m=3(舍)或m=-3,
∴F(-3,-6);
(3)①tan∠ENM的值為定值,不發(fā)生變化;
如圖2,
∵DF⊥AC,BC⊥AC,
∴DF∥BC,
∵DF=BC=AC,
∴四邊形DFBC是矩形,
作EG⊥AC,交BF于G,
∴EG=BC=AC=2,
∵EN⊥EM,
∴∠MEN=90°,
∵∠CEG=90°,
∴∠CEM=∠NEG,
∴△ENG∽△EMC,
∴,
∵F(-3,-6),EF=4,
∴E(-3,-2),
∵C(1,2),
∴EC==4,
∴=2,
∴tan∠ENM==2;
∵tan∠ENM的值為定值,不發(fā)生變化;
②點P經過的路徑是線段P1P2,如圖3,
∵四邊形BCEG是矩形,GP2=CP2,
∴EP2=BP2,
∵△EGN∽△ECB,
∴,
∵EC=4,EG=BC=2,
∴EB=2,
∴,
∴EN=,
∵P1P2是△BEN的中位線,
∴P1P2=EN=;
∴點M到達點C時,點P經過的路線長為.
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【題目】如圖,菱形ABCD中,點P是CD的中點,∠BCD=60°,射線AP交BC的延長線于點E,射線BP交DE于點K,點O是線段BK的中點,作BM⊥AE于點M,作KN⊥AE于點N,連結MO、NO,以下四個結論:①△OMN是等腰三角形;②tan∠OMN=;③BP=4PK;④PMPA=3PD2,其中正確的是( 。
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④
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【題目】某工廠計劃在規(guī)定時間內生產24 000個零件.若每天比原計劃多生產30個零件,則在規(guī)定時間內可以多生產300個零件.
(1)求原計劃每天生產的零件個數和規(guī)定的天數;
(2)為了提前完成生產任務,工廠在安排原有工人按原計劃正常生產的同時,引進5組機器人生產流水線共同參與零件生產,已知每組機器人生產流水線每天生產零件的個數比20個工人原計劃每天生產的零件總數還多20%.按此測算,恰好提前兩天完成24 000個零件的生產任務,求原計劃安排的工人人數.
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【題目】直線y=m是平行于X軸的直線,將拋物線y=-x2-4x在直線y=m上側的部分沿直線 y=m翻折,翻折后的部分與沒有翻折的部分組成新的函數圖像,若新的函數圖像剛好與 直線y=-x有3個交點,則滿足條件的m 的值為_________
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【題目】如圖,在等邊三角形ABC中,BC邊上的高AD=6,E是高AD上的一個動點,F是邊AB的中點,在點E運動的過程中,存在EB+EF的最小值,則這個最小值是( )
A.3
B.4
C.5
D.6
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【題目】如圖,是根據九年級某班50名同學一周的鍛煉情況繪制的條形統(tǒng)計圖,下面關于該班50名同學一周鍛煉時間的說法錯誤的是( )
A. 中位數是6.5 B. 平均數高于眾數
C. 極差為3 D. 平均每周鍛煉超過6小時的人占總數的一半
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