Question

22、已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，AC、BD交于點(diǎn)O，AE⊥BD，CF⊥BD，E、F為垂足．求證：AC與EF互相平分．（請(qǐng)用兩種方法證明）

Answer 1

分析：方法一：根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)互相平分，得到OA=OC，只需證明OE=OF．根據(jù)AAS證明△AOE≌△COF即可得到；
方法二：要證明AC與EF互相平分，連接AF，CE．只需證明四邊形AECF是平行四邊形即可．根據(jù)AE⊥BD，CF⊥BD，得到AE∥CF．根據(jù)△ABE≌△CDF，得到AE=CF．再根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形進(jìn)行證明．

解答：解：方法一：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA=OC．
∵∠AOE=∠COF，∠AEO=∠CFO=90°
∴△AEO≌△CFO
∴OE=OF，即AC與EF互相平分．
方法二：連接AF，CE．
∵AB∥CD，AB=CD，
∴∠ABE=∠CDF．
又∠AEB=∠CFD=90°，
∴△ABE≌△CDF．
∴AE=CF．
又AE∥CF，
∴四邊形AECF是平行四邊形．
∴AC與EF互相平分．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)和判定，運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)解決以下問(wèn)題，如求角的度數(shù)、線(xiàn)段的長(zhǎng)度，證明角相等或互補(bǔ)，證明線(xiàn)段相等或倍分等．