Question

如圖，正方形被兩條與邊平行的線段EF，GH分割成四個小矩形，P是EF與GH的交點，若矩形PFCH的面積恰是矩形AGPE面積的2倍，試確定∠HAF的大小并證明你的結論．

Answer 1

解：如圖，連FH，延長CB到M，使BM=DH，連接AM，
∵Rt△ABM≌Rt△ADH，
∴AM=AH，∠MAB=∠HAD，
∴∠MAH=∠MAB+∠BAH=∠BAH+∠HAD=90°，
如圖設正方形邊長為a，AG=m，GP=n，則FC=a-n，CH=a-m，
因為面積是二倍所以列式得到：a²-（m+n）a+mn=2mn，
在直角三角形FCH中FH²=（a-n）²+（a-m）²，將上面的式子聯(lián)立得到：
FH²=MF²=（m+n）²，即得到FH=MF，
∵AF=AF，AH=AM，
∴△AMF≌△AHF，
∴∠MAF=∠HAF，
∴∠HAF=∠MAF=45°．
分析：作出輔助線BM，AM，F(xiàn)H，把求∠HAF的度數(shù)轉化為求其全等三角形的對應角∠MAF的度數(shù)．
點評：本題考查的全等三角形的證明，考查了正方形對邊平行且各內角均為90°的性質，構建△DAH的全等三角形△BAM并進行證明是解題的關鍵．