Question

【題目】如圖，直線l的解析式為y=x+b，它與坐標軸分別交于A、B兩點，其中B坐標為（0，4）．

（1）求出A點的坐標；

（2）若點 P在y軸上，且到直線l的距離為3，試求點P的坐標；

（3）在第一象限的角平分線上是否存在點Q使得∠QBA=90°？若存在，求點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

（4）動點C從y軸上的點（0，10）出發(fā)，以每秒1cm的速度向y軸負半軸方向運動，求出點C運動中所有可能的時間t值，使得△ABC為軸對稱圖形．

Answer 1

【答案】（1）A（3，0）；（2）P（0，9）或（0，﹣1）；（3）存在，（16，16）；（4）1秒、秒、11秒、14秒

【解析】試題分析：（1）利用點B代入直線，求出直線解析式，然后求直線與x軸交點坐標；

（2）已知點到直線距離，可以做點到直線的垂線，構造直角三角形，利用三角形相似就出對應線段長度，繼而求出點的坐標；

（3）點Q在第一象限角平分線上，設Q（x，x），已知給出了指定角，利用勾股定理列方程，即可求出點Q的坐標；

（4）題目求△ABC為軸對稱圖形，實質是求動點C，使△ABC為等腰三角形，根據(jù)等腰三角形性質分類討論即可求出點的坐標，利用點的坐標求出運動時間．

試題解析：解：（1）將點B（0，4）代入直線l的解析式得：b=4，∴直線l的解析式為：y=x+4，令y=0得：x=3，∴A（3，0）；

（2）如圖，過點P做直線AB的垂線，垂足為D，∵OB=4，OA=3，∴AB=5，∵∠B是公共角，∠BDP=∠BOD，∴△BOA∽△BDP，∴ ，∴，∴BP=5，4+5=9，4﹣5=﹣1，∴P（0，9）或（0，﹣1）；

（3）存在．∵Q在第一象限的角平分線上，設Q（x，x），根據(jù)勾股定理：

QB2+BD2=QD2，x2+（x﹣4）2+52=x2+（x﹣3）2，解得x=16，故Q（16，16）；

（4）能使△ABC為軸對稱圖形，則得：△ABC為等腰三角形，當AB=BC時，C（0，9）或（0，﹣1），此時C點運動1秒或11秒，當AB=AC時，C（0，﹣4），此時C點運動14秒，當AC=BC時，C（0， ），此時C點運動秒．

綜上所述：當C點運動1秒、秒、11秒、14秒時，能使△ABC為軸對稱圖形．