Question

【題目】如圖，已知二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c（其中b，c為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點A（3，1），點C（0，4），頂點為點M，過點A作AB∥x軸，交y軸于點D，交該二次函數(shù)圖象于點B，連結(jié)BC．

（1）求該二次函數(shù)的解析式及點M的坐標(biāo)．

（2）若將該二次函數(shù)圖象向下平移m（m＞0）個單位，使平移后得到的二次函數(shù)圖象的頂點落在△ABC的內(nèi)部（不包括△ABC的邊界），求m的取值范圍．

（3）沿直線AC方向平移該二次函數(shù)圖象，使得CM與平移前的CB相等，求平移后點M的坐標(biāo)．

（4）點P是直線AC上的動點，過點P作直線AC的垂線PQ，記點M關(guān)于直線PQ的對稱點為M′．當(dāng)以點P、A、M、M′為頂點的四邊形為平行四邊形時，直接寫出點P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+4，（1，5）；

（2）2＜m＜4;（3）（3，3）或（﹣1，7）;（4）（1，3）或（﹣3，7）.

【解析】試題分析：（1）利用待定系數(shù)法，求二次函數(shù)解析式.(2)先求出AC直線解析式，平移后頂點AC下方，AB上方，在求出坐標(biāo)的范圍.(3) 當(dāng)y=1時，﹣x2+2x+4=1，解得x=﹣1或3，利用MM′∥AC，可得平移后的M的坐標(biāo).(4) 連接MC，MM′交PQ于F，設(shè)出各點坐標(biāo)，則四邊形CMFP是矩形, 當(dāng)四邊形 PAM′M是平行四邊形時,分別求出P的坐標(biāo)為（1，3）或（﹣3，7）．

試題解析：

解：（1）把點A（3，1），點C（0，4）代入二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c得

,解得,

∴二次函數(shù)解析式為y=﹣x2+2x+4，

配方得y=﹣（x﹣1）2+5，

∴點M的坐標(biāo)為（1，5）.

（2）設(shè)直線AC解析式為y=kx+b，把點A（3，1），C（0，4）代入得，

解得： ，

∴直線AC的解析式為y=﹣x+4，如圖所示，對稱軸直線x=1與△ABC兩邊分別交于點E、點F,

把x=1代入直線AC解析式y=﹣x+4解得y=3，則點E坐標(biāo)為（1，3），點F坐標(biāo)為（1，1），

點M向下平移m個單位后，坐標(biāo)為（1，5﹣m），

由題意：1＜5﹣m＜3，解得2＜m＜4；

∴2＜m＜4．

（3）如圖，

當(dāng)y=1時，﹣x2+2x+4=1，解得x=﹣1或3，

∴B（﹣1，1），

∵C（0，4），

∴BC=,

∵MM′∥AC，CM′=,M（1，5）,

∴M′的坐標(biāo)為（3，3）或（﹣1，7）,

∴平移后點M的坐標(biāo)（3，3）或（﹣1，7）．

（4）如圖，連接MC，MM′交PQ于F，則四邊形CMFP是矩形，

當(dāng)四邊形 PAM′M是平行四邊形時，PA=MM′=2MF=2PC，設(shè)P（m，﹣m+4），

則有（3﹣m）=2m，

∴m=1，

∴P（1，3），

當(dāng)P′AMM′是平行四邊形時，易知AP′=2CP′，

∴（3﹣m）=2（﹣m），

解得m=﹣3，

∴P（﹣3，7），

綜上所述，滿足條件的點P的坐標(biāo)為（1，3）或（﹣3，7）．