Question

如圖，在△ABC中，∠C＝，CM⊥AB于M，AT是△ABC的角平分線，且交CM于D，DE∥AB且交BC于E．求證：CT＝BE．

Answer 1

答案：
解析：

證明：過T作TF⊥AB于F，則 　　∵CM⊥AB，TF⊥AB， 　　∴TF∥CM． 　　∴∠2＝∠3，∠4＝∠5 　　又∵AT平分∠BAC，TF⊥AB，TC⊥AC， 　　∴TF＝TC，∠1＝∠2． 　　∴∠1＝∠3，TC＝DC． 　　∴CD＝TF． 　　在Rt△CDE和Rt△TFB中， 　　∠4＝∠5，∠B＝∠DEC，CD＝TF． 　　∴△CDE≌△TFB． 　　∴CE＝TB． 　　∴CE－TE＝TB－TE． 　　即CT＝BE．

提示：

點(diǎn)悟：由于CT和BE不在同一個三角形中，也不分屬于兩個三角形，故應(yīng)添加輔助線，構(gòu)造全等圖形．由AT平分∠BAC及∠ACB＝可想到作TF⊥AB于F．若能證△CDE≌△TFB，則CE＝TB，就得到CT＝BE．而△CDE與△TFB能全等嗎？這需要證明CD＝FT．由∠1＝∠2，∠2＝∠3易得到∠1＝∠3．故有CD＝CT．命題得證． 　　點(diǎn)撥：在證明線段相等時，如果一條線段在一個三角形中，而另一條線段不在三角形中，常構(gòu)造三角形，得到全等形，以便解決問題．