Question

如圖，點D、C是以AB為直徑的半圓上的兩點，O為圓心，DE與AC相交于點E，OC∥AD，AB=5，cos∠CAB=0.8，求CE和DE的長．

Answer 1

解：OC交BD于F點，連結BC，如圖，
∵AB為直徑，
∴∠D=90°，∠ACB=90°，
∵cos∠CAB==0.8，AB=5，
∴AC=4，
∴BC==3，
∵OC∥AD，
∴∠OFB=90°，即OF⊥DB，
∴DC弧=BC弧，DF=BF，
∴∠CBD=∠CAB，
在Rt△CBF中，cos∠CBF=0.8=，則BF=2.4，
∴CF==1.8，
在Rt△CEF中，∠ECF=∠CAB，
∴cos∠ECF=0.8=，
∴EC==，
∴EF==，
∵DE+EF=BF，
∴DE=2.4-=1.05．
分析：OC交BD于F點，連結BC，根據圓周角定理由AB為直徑得∠D=90°，∠ACB=90°，在Rt△ABC中可解得AC=4，BC=3，由OC∥AD，則∠OFB=90°，即OF⊥DB，根據垂徑定理得DC弧=BC弧，DF=BF，則∠CBD=∠CAB，再在Rt△CBF中，解直角三角形得BF=2.4，CF=1.8，在Rt△CEF中解得EC=，EF=，然后利用DE+EF=BF計算出DE．
點評：本題考查了圓周角定理及其討論：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等；直徑所對的圓周角為直角．也考查了垂徑定理和勾股定理以及解直角三角形．