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如圖,拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A(-1,0),B(3,0)兩點(diǎn).
(1)求該拋物線的解析式;
(2)設(shè)(1)題中的拋物線上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P,當(dāng)點(diǎn)P在拋物線上滑動(dòng)到什么位置時(shí),滿足S△PAB=8,并求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)設(shè)(1)題中的拋物線交y軸于C點(diǎn),在該拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q,使得△QAC的周長(zhǎng)最��?若存在,求出Q點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】分析:(1)已知了拋物線過(guò)B、C兩點(diǎn),而拋物線的解析式中也只有兩個(gè)待定系數(shù),因此可將B、C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中,即可求出待定系數(shù)的值,也就得出了二次函數(shù)的解析式.
(2)根據(jù)(1)中得出的拋物線的解析式,可求得A點(diǎn)的坐標(biāo),也就能得出AB的長(zhǎng).△PAB中,AB的長(zhǎng)為定值,那么可根據(jù)△PAB的面積求出P到AB的距離,即P點(diǎn)縱坐標(biāo)的絕對(duì)值,然后將其代入拋物線的解析式中(分正負(fù)兩個(gè)值)即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo).
(3)本題的關(guān)鍵是找出Q點(diǎn)的位置,已知了B與A點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱,因此只需連接BC,直線BC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為Q點(diǎn).可根據(jù)B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)先求出直線BC的解析式,然后聯(lián)立拋物線對(duì)稱軸的解析式即可求出Q點(diǎn)的坐標(biāo).
解答:解:(1)∵拋物線y=x2+bx+c與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A(-1,0),B(3,0),

解得
∴所求解析式為y=x2-2x-3.

(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),
由題意:S△PAB=×4|y|=8,
∴|y|=4,
∴y=±4.
當(dāng)y=4時(shí),x2-2x-3=4,
∴x1=2+1,x2=-2+1;
當(dāng)y=-4時(shí),x2-2x-3=-4,∴x=1,
∴滿足條件的點(diǎn)P有3個(gè),
即(2+1,4),(-2+1,4),(1,-4).

(3)在拋物線對(duì)稱軸上存在點(diǎn)Q,使△QAC的周長(zhǎng)最�。�
∵AC長(zhǎng)為定值,
∴要使△QAC的周長(zhǎng)最小,只需QA+QC最小,
∵點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸直線x=1的對(duì)稱點(diǎn)是(3,0),
∴Q是直線BC與對(duì)稱軸直線x=1的交點(diǎn),
設(shè)過(guò)點(diǎn)B,C的直線的解析式y(tǒng)=kx-3,把B(3,0)代入,
∴3k-3=0,
∴k=1,
∴直線BC的解析式為y=x-3,
把x=1代入上式,
∴y=-2,
∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-2).
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定,圖形面積的求法,函數(shù)圖象的交點(diǎn)等知識(shí);
(3)題中能正確的找出Q點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵所在.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,拋物線y=x2+4x與x軸分別相交于點(diǎn)B、O,它的頂點(diǎn)為A,連接AB,AO.
(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo);
(2)以點(diǎn)A、B、O、P為頂點(diǎn)構(gòu)造直角梯形,請(qǐng)求一個(gè)滿足條件的頂點(diǎn)P的坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

16、如圖,拋物線y=-x2+2x+m(m<0)與x軸相交于點(diǎn)A(x1,0)、B(x2,0),點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè).當(dāng)x=x2-2時(shí),y
0(填“>”“=”或“<”號(hào)).

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已知如圖,拋物線y=x2+(k2+1)x+k+1的對(duì)稱軸是直線x=-1,且頂點(diǎn)在x軸上方.設(shè)M是直線x=-1左側(cè)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線MG,垂足為G,過(guò)點(diǎn)M作直線x=-1的垂線MN,垂足為N,直線x=-1與x軸的交于H點(diǎn),若M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x,矩形MNHG的周長(zhǎng)為l.
(1)求出k的值;
(2)寫出l關(guān)于x的函數(shù)解析式;
(3)是否存在點(diǎn)M,使矩形MNHG的周長(zhǎng)最��?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•揚(yáng)州)如圖,拋物線y=x2-2x-8交y軸于點(diǎn)A,交x軸正半軸于點(diǎn)B.
(1)求直線AB對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;
(2)有一寬度為1的直尺平行于y軸,在點(diǎn)A、B之間平行移動(dòng),直尺兩長(zhǎng)邊所在直線被直線AB和拋物線截得兩線段MN、PQ,設(shè)M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m,且0<m<3.試比較線段MN與PQ的大小.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,拋物線y=x2-2x-3與x軸分別交于A,B兩點(diǎn).
(1)求A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)求拋物線頂點(diǎn)M關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)M′的坐標(biāo),并判斷四邊形AMBM′是何特殊平行四邊形.(不要求說(shuō)明理由)

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同步練習(xí)冊(cè)答案
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